Теоремы о линейно зависимых системах векторов линейного пространства

Теорема 1. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.

Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь вектор этой системы был линейной комбинацией всех остальных.

Док-во: Необходимость ().

Дана ЛЗ система. Нужно доказать, что один вектор ЛК всех остальных.

а_1, а_2, а_{3, …} а_n – ЛЗ система векторов, т.е. среди α_1, α₂ ,α₃ … α_n существует число отличное от нуля так, что ЛК α₁ а₁+ α₂ а₂+α₃ а₃+…+ α_n а_n= 0.

Положим для определения, что коэффициент α₁ ≠ 0. Разделим обе части последнего равенства на α₁ ≠ 0:

;

.

Отсюда следует, что а₁ - ЛК остальных векторов.

Необходимость доказана.

Достаточность ().

Пусть один вектор – это линейная комбинация остальных. Нужно доказать, что система векторов ЛЗ.

Пусть α_n = α₁ а₁+ α₂ а₂+α₃ а₃+…+ α_n-1 а_n-1.

α₁ а₁+ α₂ а₂+α₃ а₃+…+ α_n-1 а_n-1- 1α_n = 0.

Так как есть не нулевой коэффициент, то система векторов а_1, а_2, а_{3, …} а_n - линейно зависима.

Ч.т.д.

Теорема 2. Система, содержащая нуль-вектор, линейна зависима.

Док-во: Рассмотрим систему векторов, содержащую нуль-вектор. а_1, а_2, а_{3, …} а_n,Ө, где Ө ‒ нуль-вектор. Очевидно, что имеет место следующее равенство 0·а₁+ 0· а₂+0· а₃+…+ 5·Ө = 0.

Есть не равный нулю коэффициент, равный 5, а линейная комбинация равна 0, отсюда следует, что система векторов ЛЗ.

Ч.т.д.

Теорема 3. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, тоже будет линейно зависима.

Док-во: Рассмотрим систему векторов а_1, а_2, …,а_к, а_{к+1 …} а_n, где а_1, а_2,…, а_к - линейно зависимый кусочек. α₁ а₁+ α₂ а₂+ … +α_ка_к= 0. Есть коэффициент отличный от нуля.

Очевидно, что с этими же коэффициентами будет выполняться равенство

α₁ а₁+ α₂ а₂+…+α_к а_к+…+0· а_к+1+…+ 0·α_n = 0.

Отсюда следует, что система векторов ЛЗ.

Ч.т.д.