Приложение логики высказываний к релейно-контактным схемам

1. Описание переключательных схем с помощью логики высказываний.

Под переключательными схемами будем понимать схематическое изображение какого-либо устройства, содержащего только двухпозиционные переключатели 9или электрические контакты), т. е. переключатели, которые могут находиться только в двух состояниях: в замкнутом (ток проходит) и в разомкнутом(ток не проходит). При этом мы совершенно отвлечемся от способа, которым контакт переводится из одного положения в другое.

Связь между переключательными схемами и алгеброй высказываний устанавливается следующим образом. Каждому переключателю ставится в соответствие высказывание, истинное тогда, когда переключатель замкнут, и ложное, если переключатель разомкнут.

Дизъюнкции AÚB соответствует схема, составленная из двух параллельно-соединенных контактов А и В. Действительно, схема, состоящая из двух параллельно соединенных контактов, пропускает ток тогда и только тогда, когда замкнут хотя бы один из контактов.

Конъюнкции АÙВ соответствует схема, составленная из двух последовательно соединенных контакт А и В. Действительно, схема, состоящая из двух последовательно соединенных контактов, пропускает ток тогда и только тогда, когда замкнуты оба контакта.

Отрицанию высказывания А соответствует размыкающий контакт А, управляемый тем же устройством, что и контакт А.

Таким образом, всякой функции алгебры логики можно поставить в соответствии электрическую схему, составленную из замыкающих и размыкающих контактов, которые соединяются последовательно или параллельно. Такие схемы называют «П-схемами» или схемами класса «П».

Пример 1.

Построить соответствующую «П-схему» для следующей формулы:

А Ú ВÙС.

Ответ:

Пример 2.

Построить формулу алгебры логики, соответствующую данной «П -схеме».

Ответ: AÙB ÚC Ú D

Установленное соответствие между «П-схемами» с одной стороны и формулами алгебры высказываний с другой является основой для применения аппарата алгебры высказываний к теории электрических цепей.

2. Задачи на анализ и синтез релейно-контактных схем.

Пример 3. Упростить релейно-контактную схему и произвести ее анализ работы.

а) Для упрощения схемы записываем ее структурную формулу.

б) Затем полученную формулу упрощаем равносильным образом до минимального числа вхождения букв.

в) По полученной формуле восстанавливаем соответствующую ей схему. Эта схема работает также как первоначальная, но проще ее, т.к. содержит меньшее число контактов.

Решение:

Первое преобразование правило поглощения для каждой скобки, второе – применение распределительного закона, третье – группируем первую и третью конъюнкции и применяем распределительный закон, четвертое – применяем закон исключения третьего (в скобках), а затем тавтологию тавтологии.

Строим для полученной формулы схему:

Пример 4.

Анализ работы схемы можно произвести по первоначальной формуле, соответствующей этой схеме, но лучше работать с упрощенной формулой, т.к. это сопряжено с меньшими вычислениями. Для формулы составляется таблица истинности, которая показывает, при каких положениях контактов схема пропускает ток, а при каких нет.

X	Y	Z			XÙZ		F (X,Y,Z)

Вывод: Полученная электрическая схема работает следующим образом: ток в цепи есть, кроме двух случаев. Первый случай контакты X и Y разомкнуты, а контакт Z замкнут. Второй случай контакт X замкнут, а контакты Y и Z разомкнуты.

Пример 5.

Синтез релейно-контактных схем заключается в построении схемы по заданным условиям работы (по таблице истинности). Например, составить трехконтактную схему с одним входом и одним выходом. Таким образом, чтобы на выходе появился сигнал тогда и только тогда, когда любые два и только два из трех контактов замкнуты. Задача такого рода решается следующим образом:

1. Записываем условие работы схемы в таблицу.

2. С помощью таблицы строим формулу, соответствующую искомой схеме.

3. Эту схему упрощаем до минимального числа вхождения букв.

4. По полученной формуле воспроизводим схему.

Обозначим контакты искомой схемы через А, В, С.

Пусть F(А,B,C)- формула, соответствующая искомой схеме, запишем условие работы схемы в таблицу:

А	В	С	F (А,В,С)

Искомую формулу по таблице истинности можно выполнить двумя способами:

1 способ: единичных значений функции.

2 способ: нулевых значений функции.

Решим 1 способом.

· выбираем в таблице все те наборы значений переменных, при которых значение функции равно 1: (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0)

· каждому выбранному набору значений переменных ставится в соответствии истинное логическое произведение переменных или их отрицаний:

· берем логическую сумму произведений, полученных выше. Это и будет искомая формула. Ее надо упростить, если это возможно.

Решим 2 способом.

· выбираем в таблице все те наборы значений переменных, при которых значение функции равно 0: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,1)

· каждому выбранному набору значений переменных ставится в соответствии логическая сумма переменных или их отрицаний, которая при данном наборе принимает значение 0:

·

· берем логическое произведение (конъюнкцию) всех сумм, полученных выше. Это и будет искомая формула. Ее надо упростить, если это возможно.