Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решение

Решение системы находится следующим образом. Находим ранг матрицы, выбираем какой-либо базисный минор порядка r и r уравнений, с коэффициентами базисного минора (остальные уравнения отбрасываем). Решаем систему выбранных уравнений. Если r = n, то получим единственное решение, а если r < n, то получим бесконечное множество решений.

@ Задача 3. Найти решение системы

.

Решение: Ранги основной матрицы и расширенной матрицы равны 2. Поэтому отбрасываем одно уравнение (можно третье уравнение) и решаем полученную систему уравнений:

.

Обозначив x₃ = с, получим решение (2 – с, 1, с).

§ 2.3. Система линейных однородных уравнений

Система линейных уравнений (1) с нулевыми свободными членами b ₁ = b ₂ = ¼ = b _n = 0 называется системой линейных однородных уравнений.

Система линейных однородных уравнений имеет нулевое (тривиальное) решение при D ¹ 0 и ненулевое бесконечное множество решений при D = 0.

@ Задача 3. Найти решение системы .

Решение: Находим определитель . Так как детерминант равен нулю, то ранг матрицы не равен 3. Легко проверить, что ранг матрицы равен 2. После этого убираем одно из уравнений, например, третье уравнение и решаем полученную систему

, т.е. находим x₁ и x₂ через x₃ = с. После подстановки x₃ = с получим систему уравнений . Решая эту систему, находим x₁ = 2x₃ = 2с; x₂ = – x₃ = – с. Итак, решение системы линейных однородных уравнений имеет вид ( 2 c, – c, c).