Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Так как устойчивость линейных систем является свойством системы и не зависит от характера воздействия, то устойчивость при случайных воздействиях определяется также, как и для детерминированных.
Качество систем при детерминированных воздействиях оценивается с помощью показателей качества, таких как tp, s, T и т.д. При случайных воздействиях они теряют смысл, так как входные и выходные величины являются случайными функциями времени и при исследовании рассматривают не сами процессы, а их статистические свойства, т.е. определяют не мгновенные значения процессов, а их средние значения.
При случайных воздействиях ошибка системы e(t) = x(t)-y(t) также является случайной величиной, при этом используют ее усредненное значение – среднюю квадратичную ошибку
(11.3.1)
Эта ошибка используется для оценки точности или качества систем при случайных воздействиях.
Недостатки средней квадратичной ошибки:
1.Она обеспечивает минимум не мгновенного, а среднего значения, при этом мгновенное значение может быть недопустимо большим.
2. Она недооценивает малые ошибки и придает чрезмерное значение большим ошибкам, так как ее значение возводится в квадрат.
Синтез оптимальных передаточных функций САУ при случайных воздействиях
Если на входе системы помимо управляющего есть и возмущающее воздействие (помеха), то ошибка такой системы состоит из двух составляющих. Часто оказывается, что стремление уменьшить одну составляющую приводит к увеличению второй и наоборот. Задача синтеза и состоит в том, чтобы обеспечить минимально возможную сумму обеих составляющих.
Возможны несколько способов решения задачи синтеза. Первый и наиболее простой применим, если уже известна структура системы. В этом случае необходимо, используя выше приведенные выражения определить СКО как функцию варьируемых параметров системы и обычным методом определить их значения, дающие минимум ошибки. Еще один способ применим когда полезный сигнал имеет более низкочастотный спектр, чем помеха (рис.11.3.1).
Рис.11.3.1. АЧХ системы спектральные плотности полезного сигнала и помехи
В этом случае полоса пропускания системы должна быть выбрана достаточно широкой для обеспечения необходимой точности воспроизведения полезного сигнала, но такой ширины, чтобы полностью отфильтровать помехи.
В наиболее общем случае, когда спектры полезного сигнала и помехи накладываются друг на друга систему строят так, чтобы ее частотная характеристика максимально приближалась к спектральной характеристике полезного сигнала.
Рассмотрим методику определения оптимальной передаточной функции по критерию минимума СКО, когда структура системы неизвестна, а известна только передаточная функция неизменяемой части.
При определении оптимальной частотной характеристики замкнутой САУ по критерию минимума СКО между идеальным сигналом и оптимальным сигналом , предположим, что:
1) идеальная частотная характеристика или идеальная функция веса известны;
2) полезный сигнал и помеха являются стационарными эргодическими случайными процессами с нулевым математическим ожиданием и их корреляционные функции и спектральные плотности известны;
3) на время переходного процесса ограничения не накладываются, т.е. решение ищется в классе систем с “ бесконечной памятью”.
Схема постановки задачи приведена на рисунке 11.3.2.
Рис.11.3.2. Cхема синтеза оптимальной САУ
Необходимое условие, которому должна удовлетворять оптимальная импульсная переходная функция получена Н.Винером в виде интегрального уравнения
(11.3.2)
при
Корреляционная функция суммарного сигнала на входе определяется выражением
Условие отражает принцип физической осуществимости системы. Если полезный сигнал и помеха некоррелированы, то
Уравнение (11.3.2) можно преобразовать к виду
, (11.3.3)
где некоторая функция, равная нулю при Это условие приводит к тому, что функция связанная с преобразованием Фурье, не будет содержать полюсов в верхней полуплоскости плоскости Преобразование Фурье дает возможность перейти к спектральным плотностям.
(11.3.4)
Предположим, что спектральная плотность входного сигнала имеет дробно-рациональный вид и может быть представлена в виде
(11.3.5)
Здесь имеет все нули и полюсы в верхней полуплоскости, а -в нижней полуплоскости плоскости Разделим (11.3.4) на и получим
(11.3.6)
Дробь в левой части выражения (11.3.6) можно преобразовать к виду суммы
причем имеет все нули и полюсы только в верхней полуплоскости, а -только в нижней полуплоскости плоскости w. С учетом этого выражение (11.3.6) преобразуем к виду
Последнее выражение справедливо для всей плоскости w. Однако, поскольку необходимо выполнение условия физической реализуемости то решение ищется только в верхней полуплоскости и указанное выражение принимает вид
Отсюда для амплитудно-фазовой характеристики замкнутой САУ получим
(11.3.7)
Передаточная функция замкнутой САУ По этой передаточной функции определяется передаточная функция разомкнутой системы, а затем, с учетом известной передаточной функции неизменяемой части, находится передаточная функция корректирующего устройства.
Пример 11.3.1
Полезный сигнал и помеха заданы своими корреляционными функциями:
;
Полезный сигнал и помеха не коррелированы. Идеальная передаточная функция ,т.е. должна быть решена задача оптимальной фильтрации.
Прежде всего определим спектральные плотности.
Аналогично получим
Далее процесс решения задачи Винера состоит из следующих операций:
1.Вычислим
Здесь
Разложим эту функцию на комплексно-сопряженные множители
Отсюда
2. Вычислим взаимную спектральную плотность
Ф
3. Определим функцию
Приведя к общему знаменателю и приравнивая числители этого и предыдущего выражений, получим систему уравнений, из решения которой будем иметь
4. Вычислим частотную характеристику оптимальной системы
Дата публикования: 2014-12-30; Прочитано: 561 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!