Аппроксимация зашумленных сигналов полиномиальными функциями по методу наименьших квадратов

(одномерная полиномиальная регрессия)

Исходные данные.

Задана таблица отсчетов зашумленного дискретизированного сигнала (дискретная функция ).

k							n

n – количество отсчетов сигнала (значений X _i и Y_i ).

Цель работы: Создать приложение для аппроксимации зашумленных сигналов полиномиальными функциями по методу наименьших квадратов (реализации одномерная полиномиальная регрессия). При этом аппроксимирующая функция определяется в виде полиномиальной функции

, (1),

где m – степень полинома FQ(X),

- коэффициенты искомого полинома,

которая будет наиболее близкой к исходной функции заданной табличными значениями, т.е. необходимо определить вектор коэффициентов полинома , при котором полиномиальная функция FQ(X) будет наиболее близкой к заданным в таблице точкам.

В качестве критерия близости используем квадратичный функционал

, (2)

где - искомый вектор коэффициентов полинома.

Методика решения задачи.

Для реализации метода наименьших квадратов в качестве критерия близости используем квадратичный функционал (2).

Квадратичный функционал (2) имеет один экстремум (минимум). Минимум рассматриваемого квадратичного функционала находится из условия равенства нуль всех частных производных функционала , т.е. при . (3)

Частные производные определяются как:

. . (4)

Приравняв нулю частные производные

, , (5)

получаем систему линейных уравнений в виде

, (6)

где матрица коэффициентов уравнения (матрица Грамма),

- вектор правых частей системы уравнений.

(7)

Искомые коэффициенты аппроксимирующего полинома (вектор ) получаем путем решения системы линейных уравнений (6). В матричном виде вектор определяется как:

(8)

Для поиска параметров аппроксимирующего полинома можно использовать функции Excel. В Excel есть матричные функции:

МОБР – обратная матрица

МУМНОЖ – умножение матриц.

Для решения системы уравнений в Excel в ячейки листа вводятся элементы матрицы А и вектора G. Затем мышкой выделяется диапазон ячеек, где располагается вектор параметров аппроксимации, и вводится формула =МУМНОЖ(МОБР(Диапазон А);Диапазон G).

Затем нажимается комбинация клавиш [<Ctrl>+<Shift>+<Enter>].

В диапазоне ячеек, куда была введена формула, появятся искомые значения параметров аппроксимации.

Качество аппроксимации будем оценивать квадратичным критерием близости. При этом будем оценивать среднеквадратичным значением σ_ρ отклонения значений полинома в заданных точках X_i от заданных в таблице значений Y_i.

. (9)