Квадратные системы. Формулы Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными . Матрица является квадратной. Ее определитель называется определителем системы. Заменим в определителе й столбец на столбец свободных членов и обозначим получившийся определитель через :

.

Правило Крамера. Если определитель квадратной системы отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

.

Заметим, что базисная система уравнений относительно главных неизвестных при фиксированных значениях свободных переменных может быть решена по правилу Крамера. Каждому набору свободных неизвестных будет соответствовать единственный набор главных неизвестных.

Правило Крамера применимо только к решению квадратных систем с невырожденной матрицей. Равенство нулю не означает, что система не совместна. К решению таких систем следует применять другие методы, например, метод Гаусса. Отметим так же, что пользоваться формулами Крамера имеет смысл при решении систем небольшого порядка, иначе возникают трудности с вычислением определителей.

Пример. Решить систему уравнений:

Определитель системы

,

поэтому система совместна и имеет единственное решение. Определители :

Тогда