Интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Определённый интеграл как площадь фигуры

У этого термина существуют и другие значения, см. Интеграл (значения).

Интеграл функции — аналог суммы последовательности. Неформально говоря, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадьюкриволинейной трапеции.

Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Согласно основной теореме анализа, интегрирование является операцией, обратнойдифференцированию, чем помогает решать дифференциальные уравнения.

Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающиеся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат. Наиболее простым являетсяинтеграл Римана.

Содержание

• 1 Типы интегралов
• 1.1 По области интегрирования
• 2 Интегралы, зависящие от параметров
• 2.1 Дифференцирование по параметру
• 3 История
• 3.1 Интеграл в древности
• 3.2 Обозначение
• 4 См. также
• 5 Примечания
• 6 Литература
• 7 Ссылки

Типы интегралов[править | править исходный текст]

• Определённый интеграл и Неопределённый интеграл
• Интеграл Римана и Римана — Стилтьеса
• Интеграл Лебега и Лебега — Стилтьеса
• Интеграл Даниэля

По области интегрирования [править | править исходный текст]

• Кратный интеграл
• Криволинейный интеграл
• Поверхностный интеграл

Интегралы, зависящие от параметров[править | править исходный текст]

Основная статья: Зависящий от параметра интеграл

Дифференцирование по параметру [править | править исходный текст]

Пусть задан интеграл вида

В таком случае, производная по параметру t будет равна^[1]

История[править | править исходный текст]

Интеграл в древности [править | править исходный текст]

Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н. э.^{[ источник не указан 83 дня ]}, Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н. э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод впоследствии использовали Цзу Чунчжи и Цзу Гэн для нахождения объёма шара.

Следующий крупный шаг в исчисление интегралов был сделан в Ираке, в XI веке, математиком Ибн ал-Хайсамом (известным как Alhazen в Европе), в своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвёртой степени. Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению определённого интеграла, чтобы найти объём параболоида. Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов, но он не касается любых многочленов выше четвёртой степени.

Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в XVI веке. В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли, которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

Обозначение [править | править исходный текст]

Ньютон использовал (не везде) в качестве символа интегрирования значок квадрата (перед обозначением функции или вокруг него), но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено Лейбницем в 1675 году. Он образовал интегральный символ из буквы ſ («длинная s») — сокращения словалат. summa (тогда ſumma, сумма).^[2] Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, были впервые предложены Жаном Батистом Жозефом Фурье в 1819-20 годах.