Системы счисления. Система счисления – совокупность приемов и правил для записи чи­сел цифровыми знаками или символами

Система счисления – совокупность приемов и правил для записи чи­сел цифровыми знаками или символами.

Все системы счисления можно разделить на два класса: позицион­ные и непозиционные. Если для записи числа используется бесконечное множество символов, то система счисления называется непозиционной (римская система счисления).

Для записи чисел в позиционных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга символов (цифр), и величина числа зависит не только от набора цифр, но и от того, в какой последователь­ности записаны цифры (т.е. от позиции цифры). Количество цифр, исполь­зуемых для записи числа, называется основанием системы счисления.

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления (двоичную, десятичную, восьме­ричную и шестнадцатеричную), поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Основание	Система счисления	Цифры
	Двоичная	0, 1
	Восьмеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Десятичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	Шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Целая и дробная части переводятся порознь. Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основанием q, необходимо разделить ее на q. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на q – остаток даст следующий разряд числа и т.д. Деления продолжают до тех пор, пока частное не станет равным 0. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое число.

Для перевода дробной части ее необходимо умножить на q. Целая часть полученного произведения будет первым знаком. Дробную же часть произведения необходимо вновь умножить на q. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д. до достижения заданной точности представления результата.

231,34₍₁₀₎ = 11100111,010101₍₂₎

Преобразование чисел из произвольной недесятичной системы в деся­тичную выполняется на основе разложения в полином по степеням q:

,

где – запись числа в системе счисления q;

,

– натуральные числа меньше q;

n и m – число разрядов целой и дробной части.