Двойное векторное произведение. Рассмотрим двойное векторное произведение трех векторов a, b и c

d=[a, [bc]].

Всякое векторное произведение перпендикулярно к обоим сомножителям. Поэтому вектор d перпендикулярен к орту n, определяющему направление вектора [bc]. Отсюда вытекает, что вектор d лежит в плоскости, образованной векторами b и с, и следовательно, может быть представлен как линейная комбинация этих векторов:

d= α b+ β c

(см. (2.5)). Соответствующий расчет дает, что α= ас, β= -ab. Таким образом,

[a, [bc]]=b(ac)-c(ab). (2.35)

Запоминание этой формулы облегчается тем, что ее можно прочесть как «бац минус цаб».

Производная вектора. Рассмотрим вектор, который изменяется со временем по известному закону а( t ). Проекции этого вектора на координатные оси представляют собой заданные функции времени. Следовательно,

a (t)= e _xa_x(t)+ e _ya_y(t)+ e _za_z(t) (2.36)

(мы предполагаем, что координатные оси не поворачиваются в пространстве, так что орты осей со временем не изменяются).

Пусть за промежуток времени ∆t проекции вектора получают приращения ∆а_х, ∆a_y, ∆а_z. Тогда вектор получит приращение ∆а=е_х∆а_х+е_y∆а_у+е_z∆а_z. Скорость изменения вектора а со временем можно охарактеризовать отношением ∆а к ∆t:

скорость изменения a=

Это отношение дает среднюю скорость изменения а в течение промежутка времени ∆t. Допустим, что а изменяется со временем непрерывно, без скачков. Тогда чем меньше промежуток ∆t, тем точнее величина (2.37) характеризует скорость изменения а в момент времени t, предшествующий интервалу ∆t. Следовательно, скорость изменения вектора а в момент времени t равна пределу отношения (2.37), получающемуся при неограниченном уменьшении ∆t:

Если есть некоторая функция f(t) аргумента t, то предел отношения приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆t, получающийся при стремлении ∆t к нулю, называется производной функции f по t и обозначается символом df/dt.поэтому выражение (2.38) можно записать следующим образом:

Полученный результат означает, что проекции вектора da/Л на координатные оси равны производным по времени проекций вектора а:

В физике принято производные по времени обозначать символом соответствующей величины с точкой над ним, например,

Воспользовавшись таким обозначением, формуле (2.39) можно придать вид

Если в качестве а (t) взять радиус-вектор r(t) движущейся точки, то согласно (2.42)

Дифференциалом («приращением») функции f(t) называется выражение

где f¹—производная f по t. Согласно (2.39) дифференциал («приращение») вектора а определяется формулой

В частности

Заметим, что приращение функции за очень малый, но конечный промежуток времени t приближенно равно

В пределе при ∆t à0 приближенное равенство (2.47) переходит в точное равенство (2.44).

Формулу, аналогичную (2.47), можно написать и для векторной функции

Производная произведения функций. Рассмотрим функцию b(t), которая равна произведению скалярной функции φ(t) на векторную функцию a(t): b(t)=φ(t) a(t), или сокращенно: b=φa. Найдем приращение функции b:

Представив приращения функций в виде (2.47) и (2.48), получим:

откуда

В пределе при ∆tà0 это приближенное равенство превращается в точное. Таким образом,

Первые два слагаемых не зависят от ∆t и поэтому при переходе к пределу не изменяются. Предел третьего слагаемого равен нулю. Следовательно, заменив b на φа, получим:

(2.49)

Теперь рассмотрим скалярное произведение двух лектории» функций а (t) и b(t). Приращение этого произведения равно:

отсюда

или окончательно

Умножив (2.50) на dt, получим дифференциал:

Вычислим производную и дифференциал квадрата векторной Функции. Согласно (2.50) и (2.51)

Учтя, что a ²=a² (см.(2.16)), можно писать:

2a da=d(a²) или a da=d(a²/2). (2.54)

Наконец, рассмотрим производную векторного произведения функций а(() и Ь((). Приращение рассматриваемой функции равно

Соответственно

Осуществив предельный переход, придем к формуле

Производная единичного вектора. Рассмотрим орт e _a вектора а. Очевидно, что вектор е _a может изменяться только по направлению. Пусть за очень малый промежуток времени ∆t вектор а и вместе с ним орт е_а поворачивается на угол ∆φ (рис. 2.16). При малом ∆φ модуль вектора ∆е_a приближенно равен углу ∆φ: |∆e_a|~∆φ (отрезок, изображающий ∆е_a, является основанием равнобедренного треугольника со сторонами, равными единице). Заметим, что чем меньше ∆φ, тем точнее соблюдается написанное нами прнблнженное равенство.