Фрактальная графика. Понятия фрактал, фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников

Понятия фрактал, фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком, Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. В работах Мандельброта использованы научные результаты других ученых, работавших в 1875 - 1925 годах в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Фракталом (лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый) называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Из всех типов фракталов наиболее наглядными являются геометрические фракталы. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной, в трехмерном случае - поверхности, называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Объект называют самоподобным, когда увеличенные части объекта походят на сам объект и друг на друга.

Перефразируя это определение, можно сказать, что в простейшем случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.

Простейшим фрактальным объектом является фрактальный треугольник. Попробуем построить обычный равносторонний треугольник со стороной а. Разделим каждую из его сторон на три отрезка. На среднем отрезке стороны построим равносторонний треугольник со стороной, равной 1/3 стороны исходного треугольника, а на других отрезках построим равносторонние треугольники со стороной, равной (1/9)*a. С полученными треугольниками повторим те же операции. Можно заметить, что треугольники последующих поколений наследуют свойства своих родительских структур. Так рождается фрактальная фигура.

Процесс наследования можно продолжать до бесконечности. Взяв такой бесконечный фрактальный объект и рассмотрев его в лупу или микроскоп, можно найти в нем все новые и новые детали, повторяющие свойства исходной структуры.

Фрактальными свойствами обладают многие объекты живой и неживой природы. Обычная снежинка, многократно увеличенная, оказывается фрактальным объектом. Фрактальные алгоритмы лежат в основе роста кристаллов и растений. Взгляните на ветку папоротникового растения, и вы увидите, что каждая дочерняя ветка во многом повторяет свойства ветки более высокого уровня.

В отдельных ветках деревьев чисто математическими методами можно проследить свойства всего дерева. А если ветку поставить в воду, то вскоре можно получить саженец, который со временем разовьется в полноценное дерево.

Эта идея нашла использование в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Фрактальная графика, как и векторная – вычисляемая, но отличается от нее тем, что никакие объекты в памяти компьютера не хранятся. Изображение строится по уравнению (или по системе уравнений), поэтому ничего, кроме формулы, хранить не надо. Изменение коэффициентов в уравнении позволяет получать совершенно другую картину. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы. Сегодня разработаны алгоритмы синтеза коэффициентов фрактала, позволяющего воспроизвести копию любой картинки, сколь угодно близкой к исходному оригиналу. Фактически благодаря фрактальной графике найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Геометрические фракталы на экране компьютера - это узоры, построенные самим компьютером по заданной программе (рисунок 9.4). Они очень красивы, необычны и интересны. Многие художники на Западе (например, Мелисса Бинде) рассматривают фракталы как новый вид компьютерного искусства. Помимо фрактальной живописи существуют фрактальная анимация и фрактальная музыка.

Рисунок 9.4. Пример фрактального изображения

Создатель фракталов - это художник, скульптор, фотограф, изобретатель и ученый в одном лице. Он сам задает форму рисунка математической формулой, исследует сходимость процесса, варьируя его параметры, выбирает вид изображения и палитру цветов, то есть творит рисунок «с нуля». В этом одно из отличий фрактальных графических редакторов от прочих графических программ. Другой самобытной особенностью фрактального графического редактора является то, что реальный художник, работающий без компьютера, никогда не достигнет с помощью кисти, карандаша и пера тех возможностей, которые заложены в фрактальную графику программистами.

Способность фрактальной графики моделировать образы живой природы вычислительным путем часто используют для автоматической генерации необычных иллюстраций.

Программные средства для работы с фрактальной графикой предназначены для автоматической генерации изображений путем математических расчетов. Создание художественной фрактальной композиции состоит не в рисовании или оформлении, а в программировании. Фрактальную графику редко применяют для создания печатных или электронных документов, но ее часто используют в развлекательных программах.

Таким образом, фрактал это объект, отдельные элементы которого наследуют свойства родительских структур. Поскольку более детальное описание элементов меньшего масштаба происходит по простому алгоритму, описать такой объект можно всего лишь несколькими математическими уравнениями. Фракталы позволяют описывать целые классы изображений, для детального описания которых требуется относительно мало памяти. С другой стороны, фракталы слабо применимы к изображениям вне этих классов.