Система счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Основание. Разряд

Система счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

· даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);

· даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);

· отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Разряд (позиция, место) — это структурный элемент представления чисел в позиционных системах счисления. Разряд является «рабочим местом» цифры в числе. Порядковому номеру разряда соответствует его вес — множитель, на который надо умножить значение разряда в данной системе счисления.

Основанием системы счисления называется количество цифр и символов, применяющихся для изображения числа. Например р=10.

Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.

4. Алгоритмы перевода из десятичной системы в двоичную и из десятичной системы в двоичную. Привести пример А10 А2 и А2 А10

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную используют так называемый "алгоритм замещения", состоящий из следующей последовательности действий:

1. Делим десятичное число А на 2. Частное Q запоминаем для следующего шага, а остаток a записываем как младший бит двоичного числа.

2. Если частное q не равно 0, принимаем его за новое делимое и повторяем процедуру, описанную в шаге 1. Каждый новый остаток (0 или 1) записывается в разряды двоичного числа в направлении от младшего бита к старшему.

3. Алгоритм продолжается до тех пор, пока в результате выполнения шагов 1 и 2 не получится частное Q = 0 и остаток a = 1.

Например, требуется перевести десятичное число 247 в двоичное. В соответствии с приведенным алгоритмом получим:

24710: 2 = 12310

24710 - 24610 = 1, остаток 1 записываем в МБ двоичного числа.

12310: 2 = 6110

12310 - 12210 = 1, остаток 1 записываем в следующий после МБ разряд двоичного числа.

6110: 2 = 3010

6110 - 6010 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

3010: 2 = 1510

3010 - 3010 = 0, остаток 0 записываем в старший разряд двоичного числа.

1510: 2 = 710

1510 - 1410 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

710: 2 = 310

710 - 610 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

310: 2 = 110

310 - 210 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

110: 2 = 010, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

Таким образом, искомое двоичное число равно 11110111₂.

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

10110110₂ = (1·2⁷)+(0·2⁶)+(1·2⁵)+(1·2⁴)+(0·2³)+(1·2²)+(1·2¹)+(0·2⁰) = 128+32+16+4+2 = 182₁₀

5. Алгоритмы перевода из двоичной системы в восьмеричную и из восьмеричной системы в двоичную. Привести пример А10 А2 А8 и А8А2 А10

Пусть требуется перевести двоичное число 10101101100110110111100101011001011₂ в восьмеричную систему счисления. Для этого следует разбить это двоичное число на триады, начиная смладшего бита (МБ). Получим:

010 101 101 100 110 110 111 100 101 011 001 011₂

Если старшая триада не заполнена до конца, следует дописать в ее старшие разряды нули, как в нашем случае. После этого необходимо заменить двоичные триады, начиная с младшей, на числа, равные им в восьмеричной системе:

2 5 5 4 6 6 7 4 5 3 1 3₈

Таким образом,

10101101100110110111100101011001011₂=255466745313₈

Пусть требуется перевести восьмеричное число 2473₈ в двоичное число. Воспользовавшись Таблицей соответствия из Приложения, получим:

2473₈ = 10100111011₂,

поскольку 2₈ = 010₂, 4₈ = 100₂, 7₈ = 111₂... Следует помнить, что восьмеричное число кодируется тремя битами, и выписывать триады нужно полностью. Исключением из этого правила может служить только старшая триада, в которой старший бит (СБ) равен нулю.

6. Алгоритмы перевода из двоичной системы в шестнадцатеричную из шестнадцатеричной системы в двоичную. Привести пример А10 А2 А16 и А16 А2 А10