ТЕМА 10

ТЕМА 1

ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ И ПОНЯТИЯ СТАТИСТИКИ

Статистическая совокупность – множество объектов, явлений, объединенных какими-либо общими свойствами и подвергающихся статистическому исследованию (совокупность лиц, родившихся в 94 г.). каждый элемент совокупности называется единицей совокупности.

Отличительные черты свойства, качества, присущие единице совокупности и учитываемые при статистическом исследовании, называются признаками.

В статистическом анализе признаки подразделяются по характеру влияния друг на друга:

1. Признак-результат. Признак, анализируемый в данном исследовании. Рассматривается как следствие взаимодействия других факторов.

2. Признак-фактор. Признак, оказывающий влияние на исследуемый признак (связь между признаком-результатом и признаком-фактором может быть количественно определена).

3. Признак-вес. Признак, который необходимо учесть при расчетах, но он не оказывает влияния на исследуемый признак.

Вариация – изменение величины признака статистической совокупности, т.е. наличие у единиц совокупности различных значений.

Собранные в ходе статистического наблюдения и подвергнутые первичной обработке данные называются рядом распределения.

Статистическое исследование проводится на основе статистических показателей:

1. Индивидуальные – характеризуют исследуемый процесс по одной единице совокупности

2. Сводный – характеризуют общественные явления по группе исследуемых единиц. Делятся на объемные и расчетные. Сводный объемный получается путем сложения значений признака каждой единицы. Расчетные сводные показатели рассчитываются с помощью формы и математических методов. Применяются для анализа сложных общественных явлений.

3. Плановые – признаки, величина которых отражает уровень изучаемого явления, который должен быть достигнут в соответствие с планом.

4. Отчетные – отражают достигнутый уровень на определенный момент или интервал времени.

5. Базисные – показатели, величина которых принимается в качестве базы для сравнения.

6. Абсолютные – показатели, отражающие свойства явления, выраженные первичными признаками. Выражаются в абсолютных величинах (м, кг, шт.)

7. Средние – характеризуют величину изучаемого признака, приходящуюся на единицу совокупности. Получаются путем соотношения сводных объемных показателей, выражающих исследуемый признак с числом единиц совокупности, обладающих этим признаком.

Величина – количественная характеристика социально-экономических явлений. Величины делятся на абсолютные, относительные и средние.

Период – момент или интервал времени, являющийся составной частью структуры статистического показателя. Период бывает базисный и отчетный.

Для справки:

26 ноября 1718 г. – первая ревизия.

1802 г. – письменная отчетность министерств.

1811 г. – создан официальный центр правительственной статистики.

ТЕМА 2

ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО НАБЛЮДЕНИЯ

Статистическое наблюдение – это массовое планомерное научно-организованное наблюдение за явлениями социальной и экономической жизни, которое заключается в сборе данных и регистрации отобранных признаков у каждой единицы совокупности.

Статистические наблюдения проводятся органами статистики, научно-исследовательскими институтами (НИИ), экономическими службами банков, бирж, фирм и организаций.

Требования к первичным статистическим данным:

1. Должны быть максимально полными, не обрывочными, не выхваченными

2. Достоверность и точность

3. Соответствие принципу единообразия и сопоставимости

4. Соответствие принципу своевременности (в определенный срок).

Объект статистического наблюдения – это совокупность, о которой должны быть получены данные.

Единица наблюдения – элемент объекта наблюдения, который является носителем признаков, подлежащих регистрации.

Программа статистического наблюдения – перечень признаков, подлежащих регистрации в процессе наблюдения.

Этапы наблюдения

1. Подготовка наблюдения

2. Проведение массового сбора данных

3. Подготовка данных к обработке

4. Разработка предложений по совершенствованию статистического наблюдения.

Классификация статистического наблюдения.

Осуществляется по трем признакам: по форме, по виду, по способу учета.

I. В статистике используется три организационные формы статистического наблюдения

1. Отчетность (основная форма статистических наблюдений, при которой предприятие в определенные сроки в установленном виде предоставляет в статистические органы необходимые данные, скрепленные подписями лиц, ответственных за достоверность сообщаемых сведений).

a) Типовая отчетность

b) Специализированная отчетность

2. Специально организованное наблюдение (переписи, единовременные учеты, обследования сплошного и не сплошного характера)

a) Характерные особенности переписи:

· Одновременность проведения

· Единство программы наблюдения

· Регистрация всех единиц наблюдения по состоянию на один и тот же критический момент времени (обычно полночь)

3. Регистровое наблюдение (форма непрерывного статистического наблюдения за долговременными процессами, имеющими фиксированное начало, стадию развития и фиксированный конец)

a) Регистры населения

b) Регистры предприятия

II. По виду наблюдения

1. По моменту наблюдения

a) Текущее (постоянный процесс)

b) Периодическое (по схожей программе, обычно раз в 10 лет)

c) Единовременное (дает сведения о количественных характеристиках какого-либо явления или процесса в момент его исследования)

2. По полноте охвата единиц совокупности

a) Сплошные (все единицы совокупности)

b) Несплошные (часть единиц совокупности)

· Выборочное (основан на принципе случайного отбора тех единиц совокупности, которые должны быть подвергнуты статистическому наблюдению)

· Монографическое (предполагает изучение и описание отдельных, характерных в каком-либо отношении единиц совокупности с целью характеристики всей совокупности социально-экономических явлений и процессов в целом)

· Анкетное (сбор статистических данных с помощью специальных вариантов, рассылаемых определенному кругу лиц или публикуемых в периодической печати)

· Метод моментного наблюдения (информация собирается путем регистрации значений признаков и единиц выборочной совокупности в некоторые заранее определенные моменты времени)

· Метод основного массива (обследованию подвергаются наиболее существенные, крупные единицы изучаемой совокупности, где объем изучаемого признака составляет наибольший, преобладающий вес)

ТЕМА 3

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОГО НАБЛЮДЕНИЯ

Точность наблюдения – это степень соответствия значения какого-либо признака или показателя, полученного посредством статистического наблюдения, действительному его значению.

Расхождение между установленными статистическими наблюдениями и действительными значениями изучаемых величин называются ошибками наблюдения.

Ошибки регистрации – это расхождение между зафиксированными при статистическом наблюдении значениями признака и действительным его значением в результате неправильной, ошибочной регистрации ответа на вопрос статистического формуляра.

Случайные ошибки регистрации – это ошибки, которые возникают вследствие различных случайных причин.

Систематические ошибки регистрации – это неточности, возникающие в силу определенных и постоянно действующих на протяжении всего статистического наблюдения в одном направлении факторов.

Преднамеренные статистические ошибки регистрации – это ошибки, являющиеся результатом того, что опрашиваемый умышленно, сознательно сообщает регистратору неправильные данные.

Непреднамеренные статистические ошибки – это ошибки, которые носят нечаянный характер, допускаются неумышленно.

Ошибки репрезентативности – это расхождение между значениями изучаемого признака или показателя в отобранной и обследованной части совокупности и его значениями во всей исходной совокупности.

Логический контроль основывается на знании логических взаимосвязей между показателями.

Арифметический контроль основывается на знании количественных связей между значениями показателей.

ТЕМА 4

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРУППИРОВОК

Ра*работка системы показателей образующая их

Создание разработочных таблиц для сгруппированных данных

Расчет производных величин по таблицам

Различают: простую сводку (простой подсчет итогов); сложная группировка

Основной метод статистической группировки.

Способ разработки может быть: централизованный и децентрализованный (группировка производиться на местах, а потом стекается в одно место).

Группировки бывают: типологическая, структурная, аналитическая, комбинационная.

Группировочный признак – это основание, по которому проводится разбивка единиц совокупности на отдельные группы.

Количественные признаки обычно имеют числовое выражение.

Атрибутивные признаки не предполагают цифрового выражения. Они дают качественную характеристику единицы совокупности.

При построение стат. подготовок следует

1. Выбрать группированный признак
2. Зафиксировать группировочные границы интервала.
3. Определить число групп на которые нужно разбить изучаемую совокупность

Формула Стерджесса:

n – число групп

N – число единиц совокупности

lgN – десятичный логарифм от N

Интервал группировки – это интервал значений варьирующего признака, лежащих в пределах определенной группы.

Нижняя граница интервала – это наименьшее значение признака в интервале, а верхняя граница – его наибольшее значение.

Ширина интервала – разность между верхней и нижней границами.

Если вариация признака проявляется в сравнительно узких границах и распределение носит равномерный характер, то строят группировку с равными интервалами.

x_max, x_min – максимальное и минимальное значения признака в совокупности

n – число групп

Закрытыми интервалами называют такие интервалы, в которых указана верхняя и нижняя границы.

Открытые интервалы имеют только одну границу.

При определении границ интервалов статистических группировок иногда исходят из того, что изменение количественного признака приводит к появлению нового качества. В этом случае граница интервала устанавливается там, где происходит переход от одного качества к другому. В группировках, имеющих целью отобразить качественные особенности и специфику выделяемых групп единиц изучаемой совокупности по признаку, применяются специализированные интервалы.

Специализированные интервалы – это интервалы, которые применяются для выделения из совокупности одних и тех же типов по одному и тому же признаку у явлений, находящихся в различных условиях.

При изучении социально-экономических явлений на макроуровне часто применяют группировки, где интервалы не бывают ни прогрессивно-возрастающими, ни прогрессивно-убывающими. Такие интервалы называются произвольными. Как правило, они используются при группировке предприятий по уровню рентабельности, прибыльности и др.

Величина интервала

В результате обработки и систематизации первичных данных статистического наблюдения получают группировки, называемые рядами распределения. В них известна численность единиц наблюдения в группах, представленная в абсолютном и относительном выражении.

ТЕМА 5

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Первым и наиболее простым способом обобщения статистических данных являются ряды распределения.

Ряд распределения – это численное распределение единиц совокупности по изучаемому признаку.

В зависимости от признака делятся на вариационные (количественные) и атрибутивные (качественные).

У атрибутивного ряда нет количественного признака. Например, успевающие и неуспевающие, сельские и городские.

Вариационный ряд строится по количественному признаку, состоит из вариантов числовых значений количественного признака, т.е. частоты отдельных вариантов или каждой группы. В свою очередь они делятся на:

1. Дискретные (значение выражается целой величиной)

2. Интервальные (значение выражено интервалом)

· Закрытые (40 – 45)

· Открытые (свыше 45)

Графическое изображение рядов распределения

Все множество графических представлений рядов распределения распределяют на:

1. Линейные графики

· Полигон (используют для изображения дискретных рядов распределения)

· Кумулята (ломаная, составленная по накопленным частотам или частостям. Накопление определяется путем последовательного суммирования частот (частостей) по группам. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака не больше, чем рассматриваемое значение)

Если оси X и Y меняются местами, получается график огива.

· Кривая Лоренца (кривая концентрации. Кривой Лоренца называют кривую относительной концентрации суммарного значения признака. Она представляет собой ломаную, координатами точек которой являются на оси абсцисс ОХ накопленные относительные частоты, а на оси ординат ОY – накопленная (нарастающим итогом) значение признака Х. Чем ближе кривая Лоренца к прямой, тем распределение признака более равномерное (концентрация меньше) и наоборот)

2. Диаграммы

ТЕМА 6

НАГЛЯДНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ.

Результаты сводки и группировки заносятся в статистические таблицы.

Статистическая таблица – это форма рационального и наглядного изображения цифровых характеристик, исследуемых явлений и их составных частей.

В таблице различают:

1. Заголовок Макет (содержит название того, о чем идет речь, место и время, к которым относятся данные, а также единица измерения, если она одинакова для всех приведенных сведений)

2. Подлежащее (характеризуемый объект, либо единица совокупности, либо группы совокупности. Располагаются в левой части таблицы по строкам)

3. Сказуемое (в нем дается характеристика подлежащего. Располагается в верхней части таблицы по графам)

В таблице обязательна итоговая строка. Если она в начале, то после нее приписка: в том числе. Например, 24 группа: количество учащихся – 32, в том числе девочки – 27, мальчики -5.

В тех графах итоговой строки, в которых по смыслу не могут быть подсчитаны результаты, ставят Х.

В случае отсутствия данных ставится многоточие, либо «нет».

Виды таблиц:

1. Простые

2. Групповые

3. Комбинационные

Основные правила оформления таблицы:

1. По размеру должна быть небольшой

2. Краткость – сестра таланта

3. Если единицы измерения различны, их указывают в графах

4. Для удобства анализа таблицы при большом числе строк и граф они нумеруются

5. Цифровые данные целесообразно округлять с одинаковой степенью точности

6. При наличии информации по изучаемому явлению, числовое значение которого составляет величину, меньше принятой в таблице точности, принято записывать 0,0

7. Когда одна величина превосходит другую многократно, то полученные относительные показатели лучше выражать не в %, а в количестве раз

Главное не построить таблицу, а проанализировать ее.

Анализ начинают с итогов и переходят к частным показателям.

Статистические графики и правило их построения.

Основные элементы графика:

1. Поле графика (ограниченная плоскость, на которой располагается график). Более благоприятен для восприятия график, построенный по правилу золотого сечения: 1:1,5. Оси должны иметь название.

2. Графический образ – геометрические значки, с помощью которых выражаются статистические показатели.

3. Размещение графических образов на поле графика определяют пространственные ориентиры.

4. Масштабные ориентиры – это система мер и шкал, принятых для отображения данных.

5. Масштабная шкала – линия, отдельные точки которой могут быть прочитаны как определенные числа.

6. Экспликация – словесное описание. Оно включает содержание, подписи, пояснения к отдельным частям графика.

7. Как и таблица, график имеет заголовок.

Классификация графиков по видам

Классификация графиков основана на ряде признаков:

1. Способ построения графического образа:

· Диаграммы

· Статистические карты

2. Геометрические значки, изображающие статистические показатели:

· Точечки

· Линейные

· Плоскостные

· Объемные

3. Задачи, решаемые с помощью графического изображения:

· Диаграммы сравнения

· Диаграммы динамики

· Структурные диаграммы

· Диаграммы «Знак Варзара». С помощью данной диаграммы изображают многомерные признаки с помощью прямоугольников с разным соотношением и высотой. Изучаемый признак является площадью данного прямоугольника.

ТЕМА 7

АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ СТАТИСТИКИ

Абсолютные показатели. Единицы их измерения

На основе сводки и группировки статистических данных получают обобщающие показатели, в которых отражаются результаты познания количественной стороны изучаемых явлений.

Статистический показатель – это количественная характеристика социально-экономических явлений и процессов.

Различают:

1. Показатель-категорию, который отражает сущность, общие отличительные свойства конкретных статистических показателей одного и того же вида без указания места, времени и его числового значения.

2. Конкретный статистический показатель, получаемый после привязки к конкретному месту, объекту, времени, имеющий количественное выражение.

Статистические показатели могут представлять собой:

1. Абсолютные

2. Относительные

3. Средние величины

Абсолютные – именованные числа, т.е. имеющие какую-либо единицу измерения. Отражают физические размеры изучаемых статистикой процессов и явлений, а именно: их массу, площадь, объем, протяженность, временные характеристики, а также могут представлять объем совокупности, т.е. число составляющих ее единиц.

Могут выражаться:

1. В натуральных единицах измерения (т, шт., кг)

2. В стоимостных единицах измерения (руб., долл.)

3. В трудовых единицах измерения (чел/день)

4. В условных единицах измерения – для соизмерения разнородных, но взаимозаменяемых по какому-либо свойству объектов. При этом мера этого свойства и становится средством соизмерения (разные виды топлива соизмеряются по условному топливу с установленной теплотворной способностью единицы веса – 7000 ккал/кг, мыло разных сортов соизмеряется по условному мылу с 40%-ным содержанием жирных кислот, консервы – по условным консервным банкам, объемом 353,4 см³).

Перевод в условные единицы осуществляется на основе специального коэффициента:

К = Условные ед. предприятия: условные ед. эталона

5. В отдельных случаях используется произведение двух единиц. Такие показатели, как грузооборот, пассажирооборот оцениваются в грузокилометре и пассажирокилометре.

Абсолютные статистические показатели подразделяются на:

1. Показатели объема (позволяют характеризовать величину всей совокупности или ее части)

2. Показатели уровня (характеризуют величину нагрузки единицы одной совокупности элементами другой совокупности, кроме того, они могут определять степень насыщенности конкретной совокупности элементами какого-то признака данной совокупности или другой совокупности)

3. Существуют разностные абсолютные показатели (разность между текущим показателем и базисным). Они представляют собой абсолютный размер в различии двух абсолютных показателей во времени или в пространстве. Эти показатели называются показателями абсолютного прироста.

Относительные – величины, получаемые как результат абсолютных, так и относительных величин (результат деления одного абсолютного показателя на другой, выражают соотношение между количественными характеристиками социально-экономических процессов и явлений). При этом величина, с которой сравнивают (знаменатель), называется основанием, базой или базисной величиной, а сравниваемая величина (числитель) называется текущей или отчетной величиной.

Для выражения результата сопоставления одноименных величин используются:

1. Коэффициенты, если база сравнения принимается за 1

2. Проценты, если база сравнения принимается за 100%. Используется в тех случаях, когда сравниваемый показатель превосходит базисный не более чем в 2-3 раза.

3. Промилле, если база сравнения принимается за 1000‰. Вся статистика населения использует единицу показателя – промилле.

4. Продецемилле,если база сравнения принимается за 10000. В расчете на 10000 человек определяется численности студентов, врачей и т.д.

При сопоставлении разноименных величин результат выражается сочетаниями наименований сравниваемых величин. Производительность труда – руб./чел.

Для измерения абсолютных величин применяют прямой и косвенный метод измерения.

При прямом методе величина находится:

1. Непосредственным наблюдением

2. Опросом лиц экспертом (перепись, оценка спроса на товары)

При косвенном методе величины рассчитываются через другие, связанные с искомой величиной определенной зависимостью.

Относительные величины измеряются только косвенным методом.

Относительные статистические величины подразделяются на следующие виды:

1. Динамики (относительная величина динамики(ОВД) – отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени (по состоянию на данный момент времени) к уровню этого же процесса или явления в прошлом)

2. Расчетного задания (относительная величина расчетного задания (ОВР_З) – отношение величины расчетного задания на период к достигнутой величине прошлого года)

3. Выполнения расчетного задания (относительная величина выполнения расчетного задания (ОВВР_З) – отношение величины, достигнутой в отчетном периоде, к величине расчетного задания)

4. Структуры (относительная величины структуры (ОВС) – соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого)

5. Координации (относительная величина координации (ОВК) – отношение одной части совокупности к другой части этой же совокупности)

6. Интенсивности, уровня экономического развития (относительная величина интенсивности (ОВИ) характеризует степень распространения изучаемого процесса или явления и представляет собой отношение исследуемого показателя к размеру характерной для него среды)

Разновидностью относительной величины интенсивности является относительная величина уровня экономического развития, характеризующая производство продукции в расчете на душу населения и играющая важную роль в оценке развития экономики государства.

7. Сравнения (относительная величина сравнения (ОВС) – соотношение одного и того же абсолютного показателя, характеризующего разные объекты)

ПРАКТИКУМ

Задача №1.

Средства, располагаемые предприятием

Производственный капитал	На 1.01.2009	На 1.01.2010
Всего
В т.ч. оборотные средства
Из них собственные средства
Из них заемные средства

ОВД по производственному капиталу

ОВД = = 106, 5%

ОВД по оборотным средствам

ОВД = = 90, 3%

ОВД по собственным средствам

ОВД = = 81,8%

ОВД по заемным средствам

ОВД = = 100,8%

Выводы:

1. За год производственный капитал вырос на 6,5%

2. Оборотные средства уменьшились на 9,7%

3. Собственные средства уменьшились на 18,2%

4. Заемные средства выросли на 0,8%

ОВС по оборотным средствам:

ОВС₁ = = 12, 98%

ОВС₂= = 11%

ОВС по собственным средствам

ОВС₁= = 55,19%

ОВС₂= = 50%

Выводы:

1. Полученные значения показали, что на предприятии доля оборотных средств в общей стоимости производственного капитала снизилась на 1,98% и составила 11%

2. Необходимые предприятию запасы и затраты обеспечиваются собственными средствами только на 50%

ОВК₁ = = 0,8118

ОВК₂ = = 1

Вывод: этот показатель свидетельствует о том, что на каждый рубль собственных средств на 1.01.2009 приходилась 81 копейка заемных, а на 1.01.2010 – на каждый рубль собственных средств приходился 1 рубль заемных.

Задача №2

Оборот торговой фирмы в 2009г. Составил 2500 млн. руб. Фирма рассчитывала в 2010г. Увеличить оборот до 3200 млн. руб. Фактический оборот в 2010г. Составил 2800 млн. руб. Рассчитать относительные величины расчетного задания, выполнения расчетного задания, динамики, определить их взаимосвязь.

ОВД = = 1,28

ОВВР = = 0,875

ОПД = ОВД ОВВР = 1,28 0,875 = 1,12

ОПД = = 1,12

Задача №3

Рассчитаем относительную величину сравнения на основе следующих данных: объем инвестиций, поступивший в экономику России в 2009г., составил:

от Великобритании – 8588 млн.

от США – 1554 млн.

ОВС = = 5,5

Вывод: инвестиции Великобритании в экономику России в 5, 5 раз выше, чем инвестиции США.

Задача №4

Рассчитаем относительный показатель уровня экономического развития на основе данных:

2010г. – ВВП = 21598 млн. руб.

среднегодовая численность населения – 143,15 млн. человек.

ОПД = = 150876,7 млн. человек

Задача 1

Объем продаж АО вырос на 5% и составил 146 млн. руб. Определите объем реализации в 2009

(5% х 146000000): 100 = 7300000

146000000-7300000 = 138700000

Задача 2

Численность населения на 2001 января составляла 142.8 млн. человек. Городское 104.1 млн.

человек, сельского 38.7 млн. человек.

1) ОПС = городское: ср. число х 100% = 104.1: 142.8 х 100% = 73%

ОПС = сельское: ср. число х100% = 27%

2) ОПК = сельское: городское = 0.4

ОПК = городское: сельское = 2.6

Задача 3

Торговая фирма рассчитывала в 2006 году по сравнению с 2005 увеличить товара оборот на 12.5%, выполнение составило 102.3%

ОПД (06) = 102.3%: 12.5% = 8.184

ОПВП == 1.025: 1.023 = 0.12

ТЕМА 8

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Средние величины широко распространены в статистике. В средних величинах отображаются средние показатели товарооборота, товарных запасов, цен, издержки обращения, прибыль, рентабельность.

Прибыль – показатель эффект.

Рентабельность – показатель эффективности.

Если совокупность величин состоит из множества единиц какого-либо свойства, то средняя, отвлекаясь от индивидуальных значений, характеризует общее, типичное, присущее всей совокупности в целом. В средней величине компенсируются, погашаются случайные отклонения индивидуальных величин.

Закон «больших чисел» построен на средних величинах.

Сам закон «больших чисел» состоит в постоянном погашении элемента случайности в сводных характеристиках совокупности по мере увеличения ее численности.

Вместе с тем, средняя величина, являясь обобщенной характеристикой совокупности, в целом не изменяет конкретных индивидуальных величин.

Средней величиной в статистике называют обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности, отражающую типичный уровень этого признака в расчете на единицу совокупности.

Существуют различные категории средних величин. Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая, под которой понимается такое среднее значение признака, при замене которым индивидуальных значений признака суммарный объем этого признака по совокупности в целом сохраняется неизменным, т.е. средняя арифметическая есть средняя слагаемая.

1. Средняя арифметическая простая

=

- индивидуальные значения признака

n – количество единиц совокупности

Простая средняя арифметическая используется в расчете фондового индекса Доу-Джонса для определения остатка оборотных средств по балансу, среднегодовой численности населения.

2. Средняя арифметическая взвешенная

=

- частота, вес

При этом величина средней зависит в данном случае от соотношения их весов: чем больше веса имеют малые значения вариантов, тем меньше величина средней и наоборот.

Если значение признака задано интервалом, то в качестве варианта средней величины берется середина интервала – центральное значение:

=

3. Средняя арифметическая хронологическая

=

Любая средняя величина может быть представлена:

=

Свойства средних

1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:

= А при А = const

2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие частоты:

=

3. Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

4. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть величина минимума:

Или сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

Вычислительные свойства средней арифметической

1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину А, то и средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на ту же самую величину А:

2. Если все значения признака разделить (умножить) на одну и ту же величину А, то и средняя арифметическая уменьшится (увеличится) в А раз.

3. Если вес каждого значения признака разделить на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая не изменится.

ОБЩАЯ ТАБЛИЦА СРДЕНИХ

Название формулы	Формула
Любая средняя величина
Средняя степенная
Средняя арифметическая простая
Средняя арифметическая взвешенная
Средняя арифметическая хронологическая
Средняя гармоническая простая
Средняя гармоническая взвешенная
Средняя геометрическая простая
Средняя геометрическая взвешенная
Средняя квадратическая простая
Средняя квадратическая взвешенная
Мода для интервального ряда
Медиана для интервального ряда

x_i – индивидуальное значение признака

n – количество единиц совокупности

m_i – удельный вес

k – число вариантов

w_i - x_im_i

Правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

ТЕМА 9

СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ

Кроме рассмотренных средних, когда определяется некая абстрактная величина, в статистике могут быть использованы величины конкретных вариантов, имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин, занимающих определенное место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака.

Такими величинами чаще всего являются мода и медиана.

Мода – наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта.

Если ряд дискретный – наиболее часто встречающиеся значения.

Если ряд интервальный, то используется данная формула:

Чтобы определить медиану, необходимо найти середину ранжированного ряда.

Медиана делит статистический ряд на 2 равные части.

Сначала определим порядковый номер медианы:

Если ряд состоит из четного числа членов, то медиана определяется как полусумма двух средних вариант.

Если мы имеем дело с интервальным статистическим рядом, то медиана находится по формуле:

- накопленная предмедианная частота.

Пример №1.

По данным о возрастной структуре производственного оборудования в промышленности определите средний возраст оборудования.

Возраст оборудования x	Удельный вес (частота), в % к итогу d	Середина интервала x’	x’ d
До 5	4,7	2,5	11,75
5 - 10	10,6	7,5	79,5
10 - 15	25,5	12,5	318,75
15 - 20	21,0	17,5	367,5
Больше 20	38,2	22,5	859,5
		-

Пример №2.

Влажность, % x	Число образцов f	Накопленная частота S	Середина интервала x’	x’ f
До 14
14 – 16
16 – 18
18 – 20
20 и более

По данным о содержании влаги в поступившей партии товара в магазин найти средний процент влажности, моду и медиану.

Mo = 14 + 2

=

Me = 16 + 2

В симметричных рядах распределения мода медианная и средняя равны:

= Mo = Me

= 16,37

Mo = 15,3

Me = 16

В умеренно ассиметричных рядах они соотносятся следующим образом:

3( - Me) = – Mo

3(16,37 – 16) = 16,37 – 15,3

1,11 1,07

Ряд распределения умеренно ассиметричный.

ТЕМА 10

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Основными показателями, характеризующими вариацию, является размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Простейшим показателем, уже использованным выше при группировке данных, является размах вариации. Он представляет собой разность максимального и минимального значений признака:

Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колебания внутри этих границ. Этого недостатка лишена дисперсия, рассчитываемая как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины. Как и средняя величина, дисперсия может рассчитываться по-разному. Невзвешенная формула:

Взвешенная формула используется в тех случаях, когда варианты значений изучаемого признака повторяются:

Дисперсию в отдельных случаях удобнее рассчитывать по другой формуле, представляющей собой алгебраическое преобразование приведенных выше выражений:

, где или

Другим наиболее широко распространенным показателем является среднее квадратическое отклонение. Оно определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размерность, что и изучаемый признак.

Невзвешенная формула:

Взвешенная формула:

Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивать ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет относительную колеблемость (относительно среднего уровня), что во многих случаях предпочтительнее:

Если V не превышает 33%, то совокупность по рассматриваемому признаку можно считать однородной.

Показатели вариации также являются составной частью или служат основой для расчетов других статистических показателей. Они используются в анализе взаимосвязей между признаками, в измерении структурных сдвигов в экономике, в оценке рисков.

Задача.

По данным распределения возраста студентов определите размах и среднее квадратическое отклонение.

Группы студентов по возрасту x	Число студентов		2	2
		3,7	13,69	136,9
		2,7	7,29	510,3
		1,7	2,89	231,2
		0,7	0,49
		0,3	0,09	10,8
		1,3	1,69	270,4
		2,3	5,29	476,1
Итого		-	-	1684,7

Решение:

1. Размах вариации:

2.

3. Среднее линейное отклонение:

Среднее линейное отклонение возраста студентов составляет 1,4 года

4. Дисперсия:

=

5. Среднее квадратическое отклонение:

Каждое индивидуальное значение возраста студента отклоняется от средней величины на 1,63 года.

Показатели асимметрии

Распределение симметрично, если

Простейшей мерой асимметричности распределения является отклонение между характеристиками центра распределения.

Чем больше отклонение (), тем распределение асимметричнее:

() = 20,7 – 22 = -1,3

Если , то асимметрия правосторонняя.

Если , то асимметрия левосторонняя, скошенность ряда левосторонняя.

Стандартное отклонение называется коэффициентом Пирсона: