Изображение точки, образуемое сферической преломляющей поверхностью

(т.1 с.14)

Пусть сферическая поверхность разграничивает две среды с показателями преломления n и n' (рис 1.3).

Возьмем на оптической оси светящуюся точку А. Расстояние от вершины поверхности S до этой точки обозначим через s. Если точка А расположена от вершины влево, то расстояние s будет отрицательным (s < 0), если точка А расположена от вершины поверхности вправо, то расстояние будет положительным (s > 0). Проведем из точки А произвольный луч, который, преломляясь, пересечет оптическую ось в точке А' на расстоянии s' от вершины поверхности. Для отрезка s' правила знаков те же, как и для отрезка s. Углы входного луча АМ с оптической осью и нормалью к поверхности будем обозначать через u и i, а для преломленного луча соответственно через u' и i'.

Условимся отсчитывать углы от какой-нибудь определенной оси, точно указываемой в каждом отдельном случае; будем считать угол положительным, если этот угол можно образовать вращением прямой линии от указанной оси по часовой стрелке, и отрицательным против часовой стрелки.

За начальные оси будем считать:

для отсчета углов u и u' - оптическую ось, а для отсчета углов i и i' - нормаль к поверхности в точке падения луча.

В соответствии с этим на рис.1.3 u < 0, u' > 0 и i < 0, i' < 0.

С учетом закона преломления находим следующий ряд зависимостей:

- из треугольника АМО следует

(1.1)

Пользуясь законом преломления, получим

(1.2)

- из треугольника А'МО будем иметь

u' = -i+i'+u, (1.3)

(1.4)

(1.5)

Последовательное применение формул (1.1), (1.2), (1.3),(1.4),(1.5) дает возможность при заданных значениях r, n, n' и s вычислить величину отрезка s', определяющего положение точки А'.

Пучок лучей после преломления перестает быть гомоцентричным и поэтому изображение точки отсутствует.

В общем случае ход лучей изображен на рис.1.7.

Нарушение гомоцентричности в пучке преломленных или отраженных лучей вызывает ошибки изображения, которые называются аберрациями.

Если углы лучей с оптической осью и нормалями к поверхности настолько малы, что значения синусов этих углов можно заменить значениями самих углов, выраженных в радианах, то такие лучи называются параксиальными или нулевыми лучами, а область вокруг оптической оси, внутри которой распространяются эти лучи, называется параксиальной областью.

Рассмотрим в параксильной области изображение малого отрезка dl перпендикулярного к оптической оси в точке А (рис.1.8). Пусть dl' будет изображением этого отрезка. Если отрезки dl и dl' направлены от оси системе вверх, то они считаются положительными, а если вниз - отрицательными. Отношение величины изображения к величине предмета:

(1.10)

назывется линейным, или поперечным увеличением. При b >0 изображение называется прямым, при b < 0 изображение будет обратным..

Обозначим вершину отрезка dl через С и изображение ее через С'. Проведем из точки С два луча: луч СО через центр поверхности (точку О) - этот луч пройдет через поверхность не преломляясь, а второй луч – СS через вершину поверхности S. Рассматривая подобные треугольники, образованные первым лучом, и используя закон преломления для второго луча, получим:

(1.9)

(1.11)

Полученные зависимости (1.9) и (1.11) позволяют сделать выводы, а именно: каждому положению предметной точки соответствует вполне определенное положение ее изображения, и каждому малому отрезку, перпендикулярного к оптической оси, соответствует изображение так же отрезка, перпендикулярного к оптической оси. Такие пары точек и отрезков называются сопряженными.

Т.к. два пересекающихся отрезка, перпендикулярных к оптической оси, определяют плоскость, то, следовательно, элемент плоскости ds', перпендикулярный к оптической оси, изображается также элементом плоскости ds', перпендикулярным к этой же оси (рис 1.9)

Отсюда так же следует, что всякий гомоцентричный пучок после преломления в параксильной области имеет свою, ему одному соответствующую точку схода.

Из формулы (1.11) получается:

(1.12)

известная под названием теоремы Гюйгенса-Гельмгольца.

В литературе эта формула встречается так же под название Лагранжа-Гельмгольца.

§1.3 ИЗОБРАЖЕНИЕ В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ РЯДА СФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

(т.1 с.19)

Рассмотрим образование изображений в параксильной области оптической системы, состоящей из ряда сферических поверхностей 1, 2,... к,...р. (рис 1.10).

Т.к. изображение любой предметной точки является в свою очередь предметом для последующей поверхности, то исходя из фигуры можно записать:

, … .

, … .

Кроме того:

, …

, …

и т. д. Из формулы (1.12), применяя ее к каждой из преломляющих поверхностей, получим

(1.13)

Формула (1.13) дает возможность определить линейное увеличение для всей системы:

(1.14)

Для определения положения и величины изображения рассмотрим два способа:

1 способ основан на расчете хода луча, вышедшего из предметной точки через оптическую систему. Для вывода расчетных формул воспользуемся рис 1.10 и формулой (1.9).Умножим обе части формулы (1.9) на величину h,обозначающую высоту пересечения луча с поверхностью:

Производя замену:

;

окончательно получим

(1.15)

Из рис 1.10 также следует (для параксиальной области)

(1.16)

Зная для выбранного луча входные координаты u и h, причем

и применяя последовательно к каждой из поверхностей формулы (1.15) и (1.16), найдем все значения углов и высот:

u = u = u = … u'=

P

h = h = h = … h =

P

Таким образом, положение изображения s', линейное увеличение и величина изображения dl' определяется по формулам

(1.17)

(1.18)

(1.19)

2 способ - последовательное применение формулы (1.9)к каждой из поверхностей (на рис 1.10).

Применительно к поверхности k эта формула примет вид:

(1.20)

и .

В результате этих расчетов мы найдем значения всех отрезков, определяющих положения промежуточных изображений, т.е. будут известны отрезки

.

Линейное увеличение в этом случае лучше рассматривать как произведение линейных увеличений отдельных поверхностей; принимая во внимание формулу (1.11), получим:

(1.21)

Таким образом будут найдены положение и величина изображения, т.е.

и

Формулы (1.15) - (1.21) позволяют определить основные свойства оптической систем (положение и величину изображения).

В качестве иллюстрации приведем пример расчета хода луча через простую линзу:

r1 = 18.7 d1 = 6 n1 = 1

r2 = 287 n2 = 1.5 n3 = 1

Расстояние от линзы до предмета s = -60. Выберем произвольно u = - 0.2. Тогда для высоты входного луча из первой поверхности получим

Применяя формулы (1.17) и (1.18), вычисления удобно производить с помощью калькулятора или микроЭВМ.

Положение изображения и линейное увеличение определяться по формулам: