Біфуркація у простій дисипативній системі

Виберемо спочатку просту абстрактну математичну модель, на якій простіше зобразити деякі механізми, відповідальні за якісні зміни поведінки, а потім поєднаємо цю модель з реальними фізико-хімічними системами.

Розглянемо єдину змінну x, яка змінюється відповідно з рівнянням:

. (1)

Ця проста система має єдиний управляючий параметр . Причому швидкість зміни x, позначена як функція f, залежить від цього параметра суворо лінійно. Знаходимо стаціонарні стани:

.

Це алгебраїчне рівняння завжди має один тривіальний розв’язок:

.

Але можуть бути і нетривіальні розв’язки. Вони задовольняють рівнянню, яке отримують з кубічного після скорочення на :

.

При від’ємному – це рівняння має уявний розв’язок, що не може відповідати будь-якій фізично можливій ситуації. При позитивному це рівняння допускає два розв’язки:

.

Ці розв’язки зливаються з при  , та відхиляються від нього при >0. Це і є явище біфуркації. На рис.4.1. зображено графік стосовно нашого завдання. Суцільною та штриховою лініями позначені асимптотично стійкий та нестійкий розв’язки.

Симетрична біфуркація (типу камертона), при якій стандартний стан утрачає стійкість при та призводить до двох гілок розв’язків та , що зливаються з .

Рис.4.1

У розглянутій тут простій моделі проблема стійкості досить тривіальна, оскільки рівняння (1) допускає точний розв’язок за допомогою стандартних методів.

Іншими словами, гілки з’являються в результаті біфуркації в той момент, коли стандартний стан утрачає стійкість, причому коли ці гілки стійкі. Таку біфуркацію інколи називають надкритичною.

Пригадаємо, що ми на початку мали просте кубічне рівняння, яке плавно залежало від параметру Тепер видно, що повільна динаміка призводить до особливості. Дійсно в околі точки біфуркації розв’язки не можуть бути розкладені в ряд по степеням параметра .Отже, вони залежать від не аналітично. Це являється математичним відображенням якісної зміни поведінки, обумовленим біфуркацією.

Розглянемо ще більш простий приклад дисипативної системи:

.

Керуючий параметр позначимо через . Вирази для нерухомих точок мають вигляд:

.

Цю залежність зображено на рис.4.2.

Рис.4.2

В цьому випадку також можна знайти точний розв’язок динамічного рівняння, та показати, що гілка не стійка, а – асимптотично стійка. Зазначимо, що при зменшенні позитивних у точці виникає зіткнення та анігіляція стійкої та нестійкої гілки. За цією причиною точка називається граничною точкою, чи згорткою.

Тепер об’єднаємо два попередніх приклади, розглянувши дисипативну систему, яка описується рівнянням:

. (2)

Тут немає квадратичного члену, який фігурує в рівнянні (2), оскільки його завжди можна усунути відповідною заміною змінних. Таким чином ми приходимо до завдання з двома параметрами ( та ). Нерухомі точки тепер визначаються канонічною формою кубічного рівняння загального виду:

.

Це рівняння може мати три реальні розв’язки. Більш того, при зміні параметрів відбувається злиття трьох розв’язків, в результаті чого залишається єдиний реальний розв’язок.

Область існування трьох реальних коренів закінчується в точці (початок координат), в якій залежність від має особливість. Це відома особливість типу вістря.

На рис. 4.3 та 4.4 приведені залежності розв’язків від параметрів. На рис.4.3 зображена залежність від при фіксованому . S – подібна форма кривої обумовлена безліччю розв’язків в відповідній області значень параметра . Більш того, дві з гілок виявляються стійкими одночасно. Область бістабільності закінчується у двох граничних точках та .

При цьому спостерігається цикл гістерезису.

Рис.4.3

Рис.4.4

Рис.4.5

На рис.4.5 побудована залежність розв’язку від при фіксованому . Тепер є дві окремі криві, одна з яких (крива а) визначена для всіх значень , а інша (крива б) визначена лише при та має особливість типу граничної точки при . має лише стійкий розв’язок, а при , як і раніше має місце бістабільність.

Що ми досягли з точки зору фізичних застосувань? Встановили деякі “максимальні” математичні моделі, відтворюючі одне з експериментально спостережуваних перехідних явищ, що супроводжують складну поведінку, а саме виникнення множинних одночасно стійких розв’язків. Це явище напряму зв’язане зі здатністю до переключень, і, тим самим, до виконання регуляторних задач.