Перетворення полярних координат

Одне із застосувань геодезичної лінії полягає в тому, що з її участю можна на поверхні еліпсоїда створити систему координат, в якій положення пунктів визначається довжиною геодезичної лінії та кутом, що відраховується від заданого вихідного напряму. Якщо цей напрям збігається з меридіаном, то друга координата - кут, буде азимутом геодезичної лінії - . Така система координат на еліпсоїді, аналогічна полярній системі координат на площині (довжина прямолінійного відрізка та дирекційний кут ), називається п о л я р н о ю г е о д е з и ч н о ю.

Поскільки математичне опрацювання результатів геодезичних вимірювань значно простіше виконується на площині, ніж на еліпсоїді, то необхідно здійснити перетворення систем полярних координат, тобто знайти формули переходу від полярних координат і на еліпсоїді до відповідних їм координатам і на площині.

Нехай - меридіан, що проходить через т. (рис.4.3 а)); - дотична до еліпсоїда і паралельна площині осьового меридіана. Кут g¢ між напрямом меридіана і дотичною називається геодезичним зближенням меридіанів в т. . Кут в т. між напрямом меридіана і геодезичною лінією є геодезичний азимут А₁₂ цієї лінії; кут в т. між напрямом дотичної і напрямом геодезичної лінії є геодезичний дирекційний кут a₁₂. Для поверхні еліпсоїда має місце очевидна рівність .

Рис. 4.3

На рис. 4.3 б): точки q₁ і q₂ - зображення точок Q₁ і Q₂ поверхні еліпсоїда; ор - вісь абсцис, зображення осьового меридіана ОР; q₁n - зображення меридіана Q₁P; крива q₁q₂ - зображення геодезичної лінії Q₁Q₂, d - хорда, що стягує цю криву між точками q₁ і q₂. Кут g між координатною лінією y = const і зображенням меридіана q₁n називається зближенням меридіанів на площині; відраховується він від лінії y = const, тобто лінії, паралельної осі абсцис, в напрямі проти ходу годинникової стрілки. Напрямний кут a₁₂, відрахований від координатної лінії у = const за годинниковою стрілкою до заданого напряму - до хорди q₁q₂ - називається дирекційним кутом на площині. Кут d₁₂ між дотичною до кривої q₁q₂ в т. q₁ і хордою d називається поправкою за кривину зображення геодезичної лінії на площині або р е д у к ц і є ю н а п р я м у; відраховується він від дотичної до кривої за ходом годинникової стрілки до хорди. На площині має місце рівність

. (4.11)

Згідно формули (4.2) для визначення довжини кривої S (зображення геодезичної лінії на площині) необхідно знайти інтеграл

(4.12)

Якщо позначити різницю довжин кривої S та її хорди d через

, (4.13)

то довжина хорди d буде визначатися із рівняння

, (4.14)

де S обчислюється за формулою (4.12).

Поправки і залежать від довжини кривої S та її кривини і є поправками за кривину зображення геодезичної лінії, причому перша з них вводиться в напрям лінії S, а друга - в її довжину. В загальному випадку ці залежності складні, але для редукційних задач геодезії, що виникають при переході з еліпсоїда на площину, можна вивести наближені формули, які цілком задовільняють практичні вимоги.