Тема 7. Статичні моделі економічних систем

Отже, первинні дані всякого дослідження «чорної скриньки» утворюються тільки з послідовності значень вектора з двома складовими — входу та виходу. Діставши доволі довгі ряди спостережень, експериментатор розпочинає пошук закономірностей у поводженні скриньки, пошук повторюваності такого поводження.

Якщо система не детермінована, тобто перетворення вхід—вихід не є однозначним, експериментатор може піти одним із двох шляхів:

1-й шлях — змінити множину входів і виходів, узявши до уваги більшу кількість змінних та збільшивши кількість спостережень, а далі з’ясувати, чи є нова система детермінованою;

2-й шлях — відмовитися від пошуків строгої детермінованості й спробувати відшукати статистичну закономірність.

6.3. Ізоморфні та гомоморфні системи

Ізоморфними системами з погляду кібернетичного моделювання називаються системи, однакові для спостерігача, якому доступні лише входи та виходи цих систем.

Отже, умовою ізоморфності систем А і В є така система рівнос­тей для довільного елемента (моменту часу) t:

Тут ізоморфізм тлумачиться як ідентичність поводження розглядуваних систем у деякому середовищі, з яким вони контактують через свої входи та виходи. При цьому системи А і В можуть мати різну фізичну природу. Ізоморфні системи є ідеальними
функціональними моделями одна одної.

Гомоморфізм. Нехай маємо дві системи, структуру яких ілюструє рис. 6.2.

Рис. 6.2. До означення гомоморфізму

При цьому залежність між входами та виходами має вигляд:

У такому разі системи А і В уже не будуть ізоморфними, та й структура в них різна: модель Y «простіша», має менше входів і виходів. Але зауважимо таке: для кожного стану системи А маємо тільки один цілком визначений стан системи В, тобто за станом системи А ми однозначно можемо визначити стан системи В.

Наприклад, якщо значення параметрів для системи А буде
{ Х ₁ = 1, Х ₂ = 3, Х ₃ = 5, Х ₄ = 2, Y ₁ = 7, Y ₂ = 4}, то для системи В дістанемо { U ₁ = 4, U ₂ = 7, V = 19}.

Але якщо ми задамо якийсь стан системи В, то однозначно визначити стан системи А не зможемо — у системи А можлива множина станів. Наприклад, якщо для системи В маємо { U ₁ = 5, U ₂ = 4, V = 10}, то для системи А дістанемо 6 змінних і 3 рівняння:

Отже, система А не буде однозначно визначеною. Таку відповідність називають гомоморфізмом (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Гомоморфні системи

Нехай система А — оригінал. Для цієї системи побудуємо модель В. Система А має розмірність n, а В — розмірність m < n. Якщо при цьому кожному стану А відповідає один цілком визначений стан B, але не кожному стану B відповідає один стан А, то систему В називають гомоморфною моделлю системи А.

Взагалі, створюючи модель В системи А ми намагаємося, як правило, втілити в цій моделі найбільш істотні властивості системи А, відкидаючи множину менш істотних властивостей з метою спрощення моделі. У результаті цього спрощення розмірність моделі В завжди буде меншою за розмірність А (тобто m < n).

Отже, модель — це гомоморфний образ оригіналу.

Модель «чорної скриньки» у вивченні великих економічних систем. З погляду «чорної скриньки» системи, що мають однакові входи та виходи й однаково реагують на зовнішні впливи, є ізоморфними, хоча за внутрішньою структурою вони можуть бути різними.

Модель «чорної скриньки» незамінна під час вивчення великих, зокрема й економічних систем. Зауважимо, що докладно вивчати поводження таких систем, впливаючи на їхні входи та спостерігаючи за виходами, як правило, неможливо, оскільки потребувало б надто багато часу. Навіть тоді, коли б ми мали у своєму розпорядженні всю інформацію про стан усіх елементів системи, навряд чи можна було б скласти повне уявлення про її поводження. Адже за величезної кількості зв’язків між елементами наявну інформацію не вдається звести в єдине ціле.

У цьому разі потрібно реальну складну економічну систему замінити іншою, простішою, але такою, що функціонує аналогічно. Отож економічну систему розглядають як «чорну скриньку»
і будують її спрощену модель, причому сама «чорна скринька» і модель, що її відтворює, описуються однаковими математичними співвідношеннями.

За такого абстрагування однозначним перетворенням реальної економічної системи дістають простішу модель, вилучаючи неістотні змінні, з певним наближенням оцінюючи значення істотних змінних, апроксимуючи нелінійні та стохастичні залежності ліній­ними й детермінованими, і т. ін. Здобута модель буде гомоморфною і, якщо зроблені припущення є достатньо обґрунтованими, то й адекватною моделлю складної реальної економічної системи.

Завдяки спрощенню реальної системи дістаємо однозначну від­повідність її стану гомоморфній моделі, а також неоднозначність оберненої відповідності.

6.4. Економіко-математичне моделювання

Дослідження математичної моделі дає змогу діставати характеристики реального економічного об’єкта чи системи. Тип математичної моделі залежить як від природи системи, так і від задач дослідження. У загальному випадку математична модель системи містить опис множини можливих станів останньої та закон переходу з одного стану до іншого (закон функціонування).

Розглянемо основні типи економіко-математичних моделей (ЕММ), які класифікують за різними критеріями.

За цільовим призначенням ЕММ поділяються на теоретико-аналітичні, застосовувані для дослідження загальних властивостей і закономірностей економічних процесів (наприклад, модель Кейнса), та прикладні, призначені для розв’язування конкретних економічних задач (моделі економічного аналізу, прогнозування, управління тощо).

ЕММ можуть бути призначені для дослідження як різних функціональних складових економіки (виробничо-технологічної, соціальної, територіальної структури), так і його окремих частин. Розглядають моделі всієї економіки в цілому та її підсистем — секторів, галузей, регіонів, комплексів моделей виробництва, споживання, формування та розподілу прибутків, трудових ресурсів, ціноутворення, фінансових зв’язків тощо.

Згідно із загальною класифікацією математичних моделей вони поділяються на функціональні та структурні, охоплюючи проміжні форми (структурно-функціональні). У дослідженнях на макрорівні най­частіше використовуються структурні моделі, оскільки для планування та управління велике значення мають взаємозв’язки підсистем. Типовими структурними моделями є моделі міжгалузевих зв’яз­ків. Функціональні моделі широко застосовуються в економічному регулюванні, коли на поводження об’єкта («вихід») впливають, змінюючи «вхід». Прикладом може бути модель поведінки споживачів за умов товарно-грошових відносин. Один і той самий об’єкт може описуватися водночас як структурною, так і функціональною моделлю.

За характером відображення причинно-наслідкових зв’язків розрізняють детерміновані моделі та моделі, що враховують випадковість і невизначеність — стохастичні.

Залежно від урахування часового чинника економіко-матема­тичні моделі поділяються на статичні та динамічні. У статичних моделях усі залежності стосуються одного моменту або періоду часу. Динамічні моделі характеризують зміни економічних процесів у часі.

За тривалістю періоду часу, що розглядається, розрізняють моделі короткострокового (до року), середньострокового (до 5 років), довгострокового (10—15 і більше років) прогнозування та планування. Час в економіко-математичних моделях може змінюватися неперервно або дискретно. Тому розрізняють неперервні та дискретні моделі

Моделі економічних процесів надзвичайно різноманітні за формою математичних залежностей. У загальному випадку виокремлюють лінійні та нелінійні моделі. Особливо важливим є клас лінійних моделей, найзручніших для аналізу й розрахунків, зав-дяки чому вони набули великого поширення.

Відмінності між лінійними та нелінійними моделями істотні не лише з математичного, а й з теоретико-економічного погляду. Адже численні залежності в економіці як на макро-, так і на мікрорівні мають принципово нелінійний характер: вплив податкової та грошово-кредитної політики на економічних суб’єктів, ефективність використання ресурсів з розширенням виробництва, зміна обладнання, моделі управління запасами тощо. Теорія «лінійної економіки» істотно відрізняється від теорії «нелінійної економіки». Від того, якими — опуклими чи неопуклими — вважаються множини виробничих можливостей підсистем (галузей, підприємств), істотно залежать висновки про можливості поєднання централізованого планування та господарської самостійності економічних підсистем.

За співвідношенням екзогенних і ендогенних змінних, які вклю­чаються до моделей, останні поділяють на відкриті і замкнені. Повністю відкритих моделей не існує; модель повинна мати хоча б одну ендогенну змінну. Повністю замкненими (такими, що не містять жодної екзогенної змінної) економіко-математичні моделі бувають надзвичайно рідко. Загалом економіко-математичні моделі різняться за ступенем відкритості.

Макроекономічні моделі поділяють на агреговані та деталізовані. Залежно від того, чи містять ці моделі просторові чинники та умови, чи ні, розрізняють моделі просторові та точкові.

Отже, загальна класифікація ЕММ охоплює понад десять основних ознак. З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації застосовуваних моделей дедалі ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей (особливо мішаних типів) і нових ознак їх класифікації відбувається інтеграція моделей різних типів у складніші модельні конструкції.

Розглянемо основні етапи економіко-математичного моделювання. Процес моделювання передбачає наявність трьох структурних елементів:

об’єкта дослідження;

суб’єкта (дослідник);

моделі, яка опосередковує відносини між суб’єктом і об’єктом.

Побудова ЕММ у загальному випадку складається з розглянутих далі етапів.

1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. На цьому етапі потрібно сформулювати сутність проблеми, визначити передумови й висловити припущення. Необхідно виокремити найважливіші властивості об’єкта моделювання, вивчити його структуру, дослідити взаємозв’язки між його елементами,
а також хоча б попередньо сформулювати гіпотези, що пояснюють поводження й розвиток об’єкта (динаміку руху), дослідити його зв’язки із зовнішнім середовищем тощо.

При цьому складні об’єкти розбиваються на частини (елементи) окремого дослідження: визначаються зв’язки та логічні спів-
відношення між ними, їхні кількісні та якісні властивості. Зазначені дії становлять етап системного аналізу задачі, у результаті якого об’єкт подається у вигляді системи.

2. Побудова математичної моделі. Цей етап полягає у формалізації економічної моделі, тобто вираженні її у вигляді кон-кретних математичних залежностей (функцій, рівнянь, нерівностей тощо). Процес побудови моделі складається з кількох стадій. Спочатку визначають тип економіко-математичної моделі, вивчають можливості її застосування в розглядуваному конкретному випадку, уточнюють перелік змінних та параметрів, форми зв’язку між ними. Для складних об’єктів доцільно будувати кілька різноаспектних моделей.

3. Математичний аналіз моделі. На цьому етапі суто математичними прийомами досліджують загальні властивості моделей та розв’язків. Може статися, що раніше виконаний системний аналіз привів до такого набору елементів, властивостей і співвідношень, для якого немає прийнятного методу розв’язання задачі. Тоді доводиться повертатися до етапу системного аналізу. Важливим моментом є доведення існування розв’язків сформульованої задачі. У процесі аналітичного аналізу з’ясовують кількість розв’язків (єдиний чи неєдиний), визначають змінні та параметри, які можуть входити до розв’язку, а також межі та тенденції їх зміни.

Проте моделі складних економічних об’єктів дуже погано піддаються аналітичному дослідженню. У таких випадках переходять до чисельних методів дослідження. Як правило, задачі, що виникають в економічній практиці, намагаються звести до відомих моделей, для яких розроблено методи й алгоритми розв’язання.

4. Підготовка вихідної інформації. В економічних задачах це, як правило, найбільш трудомісткий етап моделювання, оскіль­ки тут замало самого лише пасивного збору даних. Математич-
не моделювання висуває жорсткі вимоги до якості інформації. У процесі підготовки інформації використовуються методи теорії ймовірностей, математичної статистики, а також економічної статистики для агрегування, групування даних, оцінювання вірогідності даних тощо.

У процесі системного економіко-математичного моделювання результати функціонування одних моделей виступають вихідною інформацією для інших.

5. Чисельне моделювання. Цей етап передбачає розробку алгоритмів чисельного розв’язання задачі, підготовку комп’ютер­них програм та безпосереднє виконання розрахунків. При цьому постають значні труднощі, зумовлені великою розмірністю економічних задач. Для великих складних об’єктів може знадобитися складання бази даних та відшукання засобів роботи з нею, а також методів добування даних, потрібних для розрахунків. У разі стандартних задач здійснюється вибір придатного пакета програм та системи управління базами даних (СУБД). Чисельне моделювання істотно доповнює результати аналітичного дослід­ження.

6. Аналіз чисельних результатів та їх застосування. На цьому етапі передусім з’ясовується найважливіше питання щодо правильності й повноти результатів моделювання та можливості їх практичного використання, а також досліджуються можливі напрямки подальшого вдосконалення моделі.

Тому спершу перевіряють адекватність моделі за тими властиво-тями, що було взято за найістотніші. Тобто потрібно виконати верифікацію і валідацію моделі, оскільки головна мета моделювання полягає в розв’язуванні практичних задач (аналіз економічних об’єктів, економічне прогнозування, вироблення управлінських рішень і т. ін.).

Верифікація моделі — перевірка правильності структури (логіки) моделі.

Валідація моделі — перевірка відповідності здобутих у результаті моделювання даних реальному процесу в економіці.

Перелічені етапи економіко-математичного моделювання перебувають у тісному взаємозв’язку, зокрема можуть існувати зворотні зв’язки між етапами. Так, на етапі побудови моделі може з’ясуватися, що постановка задачі суперечлива чи призводить до занадто складної математичної моделі. Тоді вихідну постановку доводиться коригувати.

Найчастіше потреба повернутися до попереднього етапу постає на етапі підготовки вихідної інформації. Якщо необхідної інформації немає або її пошук тягне за собою великі витрати, доводиться повертатися до етапу формалізації і пристосовуватися до наявної інформації.

Отже, моделювання являє собою циклічний процес. За останнім етапом необхідно переходити до першого й уточнювати постановку задачі згідно зі здобутими результатами, потім — до другого й уточнювати (коригувати) математичний модуль, далі — до третього і т. д.

Контрольні запитання та завдання

На чому ґрунтується можливість застосування моделей під час дослідження реальних систем?

Наведіть приклади моделей (фізичних, натурних, графічних, математичних) систем різноманітної природи.

Охарактеризуйте метод опису систем за допомогою «чорної скриньки». У чому його недоліки та переваги? Наведіть приклади його застосування.

Наведіть класифікацію математичних моделей, що найчастіше використовуються в економіці.

У чому полягають основні етапи економіко-математичного моделювання?

Чому моделювання являє собою циклічний процес?

Тема 7. СТАТИЧНІ МОДЕЛІ ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ

7.1. Виробничі функції

Поняття виробничої функції (ВФ) виникло з огляду на потребу відбити залежність між обсягом продукції, що виробляється, і ком­понентами витрат ресурсів (праці та капіталу). Американський еко­номіст П. Дуглас помітив, що співвідношення доходів від праці та капіталу в національному доході США майже не змінюється з часом. Цей висновок підтвердили подальші емпіричні дослідження для різних країн світу.

Описуючи виробничу підсистему економіки за допомогою ВФ, цю підсистему розглядають як «чорну скриньку», на вхід якої подаються ресурси X ₁, X ₂, …, X_n, а на виході отримуються річні обсяги різноманітної готової продукції Y ₁, Y ₂,..., Y_k. Як фактори виробництва на макрорівні здебільшого розглядають виробничі фонди K (капітал) та працю L, а як результати виробництва — валовий випуск продукції (ВВП або НД) Y (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Виробнича функція

Отже, економіку моделюють нелінійною ВФ

Y = F (K, L).

Розглянемо найпоширеніші класи ВФ, що застосовуються для моделювання економіки.

ВФ називається неокласичною, якщо вона є гладкою та задовольняє такі умови:

F (0, L) = F (K, 0) = 0 — за відсутності одного з факторів виробництво неможливе;

— зі зростанням витрат ресурсів виробництво зростає;

— зі зростанням витрат ресурсів швидкість зростання виробництва спадає;

за необмеженого зростання одного з факторів випуск продук­ції зростає також необмежено.

Мультиплікативна ВФ має такий вигляд (для двох факторів):

де a₁, a₂ — коефіцієнти еластичності.

Частинним випадком такої ВФ є функція Коба—Дугласа, для якої виконується умова a₁ + a₂ = 1. Беручи до уваги технологічний прогрес, до моделі часто включають множник exp(l t). Однією з переваг зазначеної моделі є те, що вона стає лінійною після
логарифмування:

,

де індекс t = 1, …, T показує момент часу (або номер спостереження) за факторами виробництва та випуском. Тоді невідомі параметри можна знайти методом найменших квадратів (МНК) за допомогою стандартних пакетів прикладних програм (наприклад, MS Excel, Eviews, SAS тощо).

Можна легко переконатись, що мультиплікативні ВФ задоволь­няють перші дві умови для неокласичних функцій. Справді,
знайдемо перші частинні похідні:

оскільки a₁ > 0, a₂ > 0.

Частинні похідні випуску за факторами — так звані граничні продукти, або граничні ефективності, факторів — відповідають приросту випуску на одиницю приросту фактора. Неважко переконатись, що мультиплікативна ВФ задовольняє також умови 3 і 4 для неокласичних ВФ.

Подамо економічну інтерпретацію параметрів a₁ > 0, a₂ > 0. Для цього введемо поняття еластичностей як логарифмічних похідних факторів за випуском:

.

Оскільки в розглядуваному випадку , то

.

Отже, коефіцієнти еластичності показують, на скільки відсотків зросте випуск, якщо фактор зросте на 1 %. При a₁ > a₂ спостерігається інтенсивне зростання, у протилежному випадку — екстенсивне виробництво.

Ізоквантою називають геометричне місце точок на площині K, L, що відповідає одному й тому самому рівню випуску продукції, тобто F (K, L) = Y ₀ = const. Звідси випливає, що на
ізокванті

.

Граничною нормою заміни праці фондами та фондів працею називаються відповідно такі співвідношення:

, .

Для мультиплікативної ВФ норма заміни праці фондами прямо пропорційна до фондоозброєності:

Ізоклінами називають лінії найбільшого зростання ВФ. Ізокліни ортогональні до ліній нульового зростання — ізоквант. Оскільки напрям найбільшого зростання задається градієнтом , то рівняння ізоклінали подається у вигляді:

Схематичне зображення ізоквант та ізоклін наведено на
рис. 7.2.

Виробнича функція називається однорідною ступеня g, якщо
F (l K, l L) = l^g F (K, L). Отже, мультиплікативна ВФ буде однорідною ступеня a₁ + a₂.

Розглянемо ще один клас ВФ — зі сталою еластичністю заміни факторів (CES-функції). Для них виконується рівність .

Рис. 7.2. Ізокванти та ізокліни для ВФ

У загальному вигляді ВФ цього класу можна подати так:

,

де .

7.2. Балансові моделі

Балансові моделі як статистичні, так і динамічні широко застосовуються в економіко-математичному моделюванні. В основу створення цих моделей покладено балансовий метод — метод взаємного зіставлення наявних матеріальних, трудових і фінансових ресурсів та потреб у них. Описуючи економічну систему в цілому, під її балансовою моделлю розуміють систему рівнянь, кожне з яких виражає вимогу балансу між виробленою окремими економічними об’єктами кількістю продукції та сукупною потребою в цій продукції. За такого підходу економічна система складається з економічних об’єктів, кожний з яких випускає деякий продукт. Частину останнього споживають інші об’єкти системи, а решта виводиться за межі системи як її кінцевий продукт.

Якщо замість поняття «продукт» ввести загальніше поняття «ресурс», то під балансовою моделлю потрібно розуміти систему рівнянь, що задовольняють вимоги відповідності між наявним ресурсом та його використанням. Крім наведеної щойно вимоги стосовно відповідності виробництва кожного продукту і потребі в ньому розглядають також балансову відповідність як відповідність наявності робочої сили фактичній кількості робочих місць або платоспроможного попиту населення наявній пропозиції товарів і послуг тощо. При цьому під відповідністю розуміють достатність ресурсів для покриття потреби і, отже, існування деякого резерву.

Найважливіші види балансових моделей:

часткові матеріальні, трудові та фінансові баланси для економіки в цілому та окремих її галузей;

міжгалузеві баланси;

матричні баланси підприємств і фірм.

Балансовий метод є основним інструментом для аналізу пропорцій в економіці. Балансові моделі на базі звітних балансів характеризують сформовані пропорції, причому їхня ресурсна частина завжди дорівнює видатковій.

Для виявлення диспропорцій використовуються балансові моделі, в яких фактичні ресурси зіставляються не з їх фактичним споживанням, а з потребою в них. З огляду на це балансові моделі не містять механізму порівняння окремих варіантів економічних рішень і не передбачають взаємозамінюваності різних ресурсів, через що унеможливлюється вибір оптимального варіанта розвитку економічної системи. Саме в цьому полягає обмеженість балансових моделей і балансового методу в цілому.

Основу інформаційного забезпечення балансових моделей в економіці становить матриця коефіцієнтів витрат ресурсів за конкретними напрямками їх використання. Скажімо, у моделі міжгалузевого балансу зазначену роль відіграє так звана технологічна матриця — таблиця міжгалузевого балансу, складена з коефіцієнтів (нормативів) прямих витрат на виробництво одиниці продукції в натуральному виразі. З багатьох причин вихідні дані реальних господарських об’єктів не можуть бути використані в балансових моделях безпосередньо, тому підготовка інформації для введення в модель є доволі важливою проблемою.

Так, будуючи модель міжгалузевого балансу (МГБ), застосовують специфічне поняття чистої, або технологічної галузі, тобто умовної галузі, яка поєднує все виробництво відповідного продукту незалежно від відомчої (адміністративної) підпорядкованості та форм власності підприємств і фірм, що його виробляють.

У разі переходу від господарських галузей до чистих галузей потрібне спеціальне перетворення реальних даних господарських об’єктів, наприклад агрегування галузей, вилучення внутрішньогалузевого обігу і т. ін. Тоді поняття «міжпродуктовий баланс» і «міжгалузевий баланс» практично ідентичні, відмінність полягає лише в одиницях, якими вимірюють елементи балансу.

Балансові моделі належать до матричного типу економіко-мате­матичних моделей, оскільки вони будуються у вигляді матриць — прямокутних таблиць чисел. У матричних моделях балансовий метод набуває строгого математичного вираження. Отже, матрична структура притаманна міжгалузевому і міжрайонному балансу виробництва й розподілу продукції в народному господарстві, моделям розвитку галузей, міжгалузевим балансам виробництва й розподілу продукції окремих регіонів, моделям підприємств і фірм. Попри специфіку цих моделей їх поєднує не лише загальний формальний (матричний) принцип побудови та спільність системи розрахунків, а й аналогічність низки економічних характеристик.

Завдяки цьому структуру, зміст і основні залежності матричних моделей можна досліджувати на прикладі однієї з них, а саме моделі міжгалузевого балансу виробництва й розподілу продукції в економіці. Цей баланс відбиває виробництво й розподіл суспільного продукту за галузями, міжгалузеві виробничі зв’язки, використання матеріальних і трудових ресурсів, створення й розподіл національного доходу.

Принципову схему міжгалузевого балансу виробництва й розподілу сукупного суспільного продукту у вартісному виразі наведено в табл. 7.1. В основу цієї схеми покладено поділ сукупного продукту на дві частини — проміжний і кінцевий продукт. Усе народне господарство подається у вигляді сукупності n («чистих») галузей, при чому кожна з них фігурує в балансі як така, що виробляє і споживає.

Таблиця 7.1

Принципова схема міжгалузевого балансу (МГБ)

Галузі, що виробляють продукцію	Галузі, що споживають продукцію	Кінцевий продукт	Валовий продукт
			…	n
	x 11	x 12	x 13	…	x 1 n	Y 1	X 1
	x 21	x 22	x 23	…	x 2 n	Y 2	X 2
	x 31	x 32	x 33	…	x 3 n	Y 3	X 3
.	.	.	.	I	.	. II .	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
n	xn 1	xn 2	xn 3	…	xnn	Yn	Xn
Амортизація	c 1	с 2	с 3	…	сn	IV
Оплата праці	v 1	v 2	v 3	III	vn
Чистий дохід	m 1	m 2	m 3	…	mn
Валовий продукт	X 1	X 2	X 3	…	Xn

Розглянемо чотири великі складові схеми МГБ, що мають різний економічний зміст — так звані квадранти балансу (на схемі їх позначено римськими цифрами І—ІV).

Квадрант І — це шахова таблиця міжгалузевих матеріальних зв’язків. Показники, розміщені на перетині її рядків і стовпців, являють собою значення міжгалузевих потоків продукції й у загальному вигляді позначаються x_ij, де i, j — номер галузі, що виробляє і, відповідно, споживає продукцію. Наприклад, коефіцієнт x ₃₂ характеризує вартість засобів виробництва, вироблених у галузі з номером 3 і спожитих як матеріальні витрати в галузі з номером 2. Отже, квадрант І за формою являє собою квадратну матрицю порядку n, сума всіх елементів якої дорівнює річному фонду відшкодування витрат засобів виробництва в матеріальній сфері.

У квадранті ІІ подано кінцевий продукт усіх галузей матері-
ального виробництва. Під кінцевою розуміють продукцію, що над­ходить зі сфери виробництва в галузь кінцевого використання (на споживання й нагромадження). У табл. 7.1 цей розділ подано у вигляді стовпця величин Y_i. У розгорнутій схемі балансу кінцевий продукт кожної галузі відбивають диференційовано, за напрямками використання: особисте споживання населення, суспільне спо­живання, нагромадження, відшкодування втрат, експорт тощо.

Отже, квадрант ІІ у згорнутому вигляді характеризує галузеву матеріальну структуру національного доходу, а в розгорнутому — також і поділ національного доходу на фонд нагромад­ження і фонд споживання, структуру споживання і нагромадження за галузями виробництва та споживачами.

Квадрант ІІІ також характеризує національний дохід, але з боку його вартісного складу як суми чистої продукції й амортизації. При цьому чисту продукцію розуміють як суму оплати праці та чистого доходу галузей. Суму амортизації c_j та чистої продукції v_j + m_j деякої j -ї галузі називатимемо умовно чистою продукцією цієї галузі й позначатимемо надалі Z_j.

Квадрант ІV розташований на перетині стовпців квадранта ІІ (кінцевий продукт) і рядків квадранта ІІІ (умовно чиста продукція). Цим визначається його зміст: він відбиває кінцевий розподіл і використання національного доходу. У результаті перерозподілу створеного національного доходу утворюються кінцеві доходи населення, підприємств, держави. Дані квадранта ІV важливі, коли йдеться про відображення в моделі МГБ доходів і витрат населення, джерел фінансування капіталовкладень, поточних витрат невиробничої сфери чи про аналіз загальної структури кінцевих доходів за групами споживачів. Вельми важливим є й те, що загальний підсумок квадранта ІV, так само як ІІ і ІІІ, має дорівнювати створеному за рік національному доходу.

Отже, міжгалузевий баланс поєднує в єдиній моделі баланси галузей матеріального виробництва, баланс сукупного суспільного продукту, баланси національного доходу, фінансовий баланс, а також баланс доходів і витрат населення. Варто наголосити, що хоча валова продукція галузей не входить до розглянутих щойно чотирьох квадрантів, вона присутня на принциповій схемі МГБ у двох місцях — як стовпець, розміщений праворуч від квадранта ІІ, і як рядок нижче від квадранта ІІІ. Зазначені стовпець і рядок валового продукту закінчують схему МГБ і відіграють важливу роль як для перевірки правильності заповнення квадрантів (тобто перевірки самого балансу), так і для розробки економіко-матема­тичної моделі МГБ.

Позначаючи згідно зі схемою МГБ валовий продукт деякої галузі буквою X з нижнім індексом, що дорівнює номеру даної галузі, запишемо два найважливіші співвідношення, що відбивають сутність МГБ і є основою його економіко-математичної моделі.

По-перше, розглядаючи схему балансу за стовпцями, доходимо такого висновку: підсумок матеріальних витрат будь-якої галузі, що споживає, та її умовно-чистої продукції дорівнює валовій продукції цієї галузі. Цей висновок можна подати у вигляді співвідношення:

. (7.1)

Нагадаємо, що вартість умовно-чистої продукції Z_j дорівнює сумі амортизації, оплати праці та чистого доходу j -ї галузі. Співвідношення (7.1) охоплює систему з n рівнянь, що відбивають вартісний склад продукції всіх галузей матеріальної сфери.

По-друге, розглядаючи схему МГБ за рядками для кожної галузі, що виробляє продукцію, можна побачити, що валова продукція такої галузі дорівнює сумі матеріальних витрат галузей, які споживають її продукцію, та її власної кінцевої продукції:

. (7.2)

Формула (7.2) описує систему з n рівнянь, які називають рівняннями розподілу продукції галузей матеріального виробництва за напрямками використання.

Підсумувавши за всіма галузями, дістанемо:

.

Аналогічно підсумовуємо рівняння (7.2):

.

Ліві частини обох рівностей однакові, оскільки подають весь валовий суспільний продукт. Перші доданки правих частин цих рівностей також однакові й становлять підсумок квадранта І. Отже, має виконуватись співвідношення:

. (7.3)

Ліва частина рівняння (7.3) — підсумок квадранта ІІІ, а права частина — підсумок квадранта ІІ. Загалом це рівняння показує, що в міжгалузевому балансі дотримано найважливішого принципу єдності матеріального й вартісного складу національного доходу.

7.3. Економіко-математична модель
міжгалузевого балансу

Як уже зазначалося, основу інформаційного забезпечення моделі МГБ становить технологічна матриця, що містить коефіцієнти прямих матеріальних витрат на виробництво одиниці продукції. Ця матриця є також основою економіко-матема­тичної моделі МГБ.

Припустимо, що для виробництва одиниці продукції в j -й галузі потрібно витратити певний обсяг a_ij проміжної продукції i -ї
галузі. При цьому значення a_ij не залежить від обсягу вироб­ництва в цій галузі і є досить стабільним у часі. Величини a_ij називаються коефіцієнтами прямих матеріальних витрат і обчислюються так:

(7.4)

Означення. Коефіцієнтом прямих матеріальних витрат називається коефіцієнт, який показує скільки продукції i- ї галузі необхідно (якщо враховувати тільки прямі витрати) для виробниц­тва одиниці продукції j- ї галузі.

Узявши до уваги (7.4), систему рівнянь балансу (7.2) можна переписати у вигляді:

. (7.5)

Нехай А = (a_ij) — матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, X — вектор-стовпець валової продукції і Y — вектор-стовпець кінцевої продукції. Тоді система рівнянь (7.5) у матричній формі набирає вигляду:

. (7.6)

Система рівнянь (7.5), або, у матричній формі, (7.6), називається економіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу (моделлю Леонтьева, моделлю «витрати— випуск»). За допомогою цієї моделі, позначивши, як завжди, символом Е одиничну матрицю, виконувати три варіанти розрахунків:

задавши в моделі обсяги Х_i валової продукції кожної галузі, визначають обсяги Y_j кінцевої її продукції: Y = (Е – А) Х;

задавши обсяги Y_i кінцевої продукції всіх галузей, знаходять обсяг X_i обсягу валової продукції кожної галузі: Х = (Е – А)^–1 Y;

задавши обсяги валової продукції для низки галузей, а для решти галузей — обсяги кінцевої продукції, відшукують обсяги кінцевої продукції перших галузей і обсяги валової продукції других (у цьому варіанті зручніше користатися не матричною формою моделі (7.6), а системою лінійних рівнянь (7.5)).

У наведених співвідношеннях (Е – А)^–1 — матриця, обернена до матриці (Е – А). Якщо визначник матриці (Е – А) не дорівнює нулю, тобто ця матриця невироджена, то обернена до неї матриця існує. Позначивши цю обернену матрицю через Y = (Е – А)^–1, можна систему рівнянь у матричній формі (7.6) подати у вигляді Х = ВY.

Нехай b_ij — елементи матриці В. Тоді з матричного рівняння для будь-якої i -ї галузі можна дістати таке співвідношення:

. (7.7)

Із (7.7) випливає, що обсяг валової продукції виступає як зважена сума обсягів кінцевої продукції, причому вагами є коефіцієнти b_ij, що показують, скільки всього потрібно виготовити продукції i -ї галузі, щоб у сферу кінцевого використання надійшла одиниця продукції j- ї галузі. На відміну від коефіцієнтів a_ij прямих витрат коефіцієнти b_ij називаються коефіцієнтами повних матеріальних витрат і охоплюють як прямі, так і непрямі витрати всіх порядків. Якщо прямі витрати відбивають кількість засобів виробництва, витрачених безпосередньо під час виготовлення певного продукту, то непрямі стосуються попередніх стадій виробництва і входять у виробництво продукту опосередковано через інші (проміжні) засоби виробництва.

Означення. Коефіцієнтом повних матеріальних витрат b_ij називається коефіцієнт, який показує скільки продукції i -ї галузі потрібно виробити, щоб з урахуванням прямих і непрямих її
витрат одержати одиницю кінцевої продукції j -ї галузі.

Коефіцієнти повних матеріальних витрат застосовують, щоб з’ясувати, як позначиться на валовому випуску деякої галузі передбачувана зміна обсягів кінцевої продукції всіх галузей:

,

де Δ X_i, Δ Y_j — зміна (приріст) обсягу відповідно валової і кінцевої продукції.

Переходячи до аналізу моделі МГБ, розглянемо передусім основні властивості матриці А коефіцієнтів прямих матеріальних витрат. Коефіцієнти прямих витрат за означенням є невід’ємними. Окрім цього, оскільки відтворення було б неможливим, коли б для власного відтворення в галузі витрачалося більше продукту, ніж створювалося, то діагональні елементи матриці А, очевидно, мен­ші за одиницю: a_ij < 1.

Система рівнянь міжгалузевого балансу відбиває реальні економічні процеси, в яких сенс можуть мати лише невід’ємні значення валових випусків. Отже, вектор валової продукції складається з невід’ємних компонентів, тобто є невід’ємним: X ≥ 0.

Постає запитання: за яких умов економічна система здатна забезпечити додатний кінцевий випуск за всіма галузями? Відповідь на це запитання пов’язана з поняттям продуктивності матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

Називатимемо невід’ємну матрицю А продуктивною, якщо існує невід’ємний вектор X ≥ 0, такий що

(7.8)

Умова (7.8) означає, очевидно, існування додатного вектора кінцевої продукції Y для моделі МГБ (7.6).

Для того щоб матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А була продуктивною, необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з наведених далі умов:

1) існує невід’ємна матриця (Е – А)^–1 ≥ 0;

2) матричний ряд

збіжний, причому його сума дорівнює матриці (Е – А)^–1;

3) найбільше за модулем власне значення матриці А, тобто роз­в’язок характеристичного рівняння | А – λ Е | = 0, строго менше
від одиниці;

4) усі головні мінори матриці (Е – А), тобто визначники матриць, утворені елементами перших рядків і перших стовпців цієї матриці, порядку від 1 до n, додатні.

Простішою, але тільки достатньою ознакою продуктивності матриці А є обмеження на її норму, тобто на значення найбільшої із сум елементів матриці А в кожному стовпці. Якщо норма матриці А строго менша за одиницю, то ця матриця продуктивна. Ще раз наголосимо, що ця умова є тільки достатньою, і матриця А може бути продуктивною і тоді, коли її норма більша за одиницю.

Найбільший за модулем корінь характеристичного рівняння, наведеного в умові 3 продуктивності матриці А (позначимо його через λ*), може бути оцінкою загального рівня коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, а отже, значення (1 – λ*) характеризує залишок після витрат, тобто продуктивність. Чим більше (1 – λ*), тим більші можливості досягти ще й інших цілей, крім поточного виробничого споживання. Це означає, що вищий загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим більше найбільше за модулем власне значення λ* і тим нижчий рівень продуктивності, та навпаки: чим нижчий загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим менше найбільше за модулем власне значення і тим вища продуктивність.

Проаналізуємо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат, тобто матрицю В = (Е – А)^–1. Коефіцієнт цієї матриці показує, скільки всього потрібно виробити продукції i -й галузі, щоб одержати одиницю кінцевої продукції j -ї галузі.

Наведемо ще одне визначення коефіцієнта повних матеріальних витрат, узявши до уваги, що крім прямих витрат існують непрямі виробничі витрати під час виготовлення тієї чи іншої продукції будь-якої галузі. Розглянемо, наприклад формування витрат електроенергії на випуск сталевого прокату, обмежившись технологічним ланцюжком «руда — чавун — сталь — прокат». Витрати елек-
троенергії, що супроводжують виплавлення прокату зі сталі, назива­тимуться прямими витратами. Відповідні витрати в разі виплавлення сталі з чавуну дістануть назву непрямих витрат 1-го по­рядку, а витрати електроенергії, необхідні для одержання чавуну з руди, — непрямих витрат 2-го порядку і т. д. Отже, можна навести таке означення:

Означення. Коефіцієнтом повних матеріальних витрат с_ij називається сума прямих і непрямих витрат продукції i -ї галузі для виробництва одиниці продукції j -ї галузі з урахуванням усіх проміжних продуктів на всіх попередніх стадіях виробництва.

Нехай — коефіцієнт непрямих матеріальних витрат k -го порядку. Тоді виконується формула

,

або, у матричному вигляді:

.

Згідно зі змістом коефіцієнтів непрямих матеріальних витрат запишемо матричні співвідношення:

,

скориставшись якими матричну формулу можна подати у вигляді

.

Якщо матриця А коефіцієнтів прямих матеріальних витрат є продуктивною, то з умови 2 продуктивності випливає існування матриці В = (Е – А)^–1, що є сумою збіжного матричного ряду:

.

Порівнюючи два останні співвідношення, встановлюємо такий зв’язок між двома матрицями коефіцієнтів повних матеріальних витрат: B = Е + C, або, у поелементному запису:

Цей зв’язок визначає економічний зміст розбіжності між коефіцієнтами матриць B і С: на відміну від коефіцієнтів матриці С, що враховують тільки витрати на виробництво продукції, коефіцієнти матриці В крім витрат містять також саму одиницю кінцевої продукції, що виходить за сферу виробництва.

До найважливіших аналітичних можливостей моделей МГБ належить визначення векторів кінцевої та валової продукції. Різні модифікації розглянутої щойно моделі МГБ виробництва й розподілу продукції в економіці дають змогу розширити коло показників, охоплюваних моделлю. МГБ застосовують, наприклад, аналізуючи такі важливі економічні показники, як праця, фонди, оптові та споживчі ціни тощо. Зокрема, за допомогою МГБ на основі прямих і повних витрат праці на одиницю продукції можна побудувати балансові продуктово-трудові моделі, в яких вихідною моделлю є звітний міжпродуктовий баланс у натуральному виразі.

Контрольні запитання та завдання

Що таке виробнича функція?

Доведіть, що ВФ Коба—Дугласа є неокласичною.

За реальними статистичними даними (офіційні статистичні видання та інформація в мережі Інтернет) побудуйте ВФ Коба—Дугласа для України, Росії та США.

Наведіть принципову схему міжгалузевого балансу виробництва і розподілу сукупного суспільного продукту у вартісному вираженні.

Доведіть необхідні і достатні умови продуктивності матриці прямих матеріальних витрат А моделі МГБ.

Наведіть приклади застосування балансових моделей в економіці.

Тема 8. ДИНАМІЧНІ МАКРОЕКОНОМІЧНІ МОДЕЛІ

8.1. Загальна модель макроекономічної динаміки

На відміну від статичних динамічні моделі описують не стан, а процес розвитку економіки, установлюючи безпосередній взаємо­зв’язок між попередніми та наступними його етапами і тим самим наближаючи аналітичні висновки на основі економіко-матема­тичної моделі до реальних умов розвитку економічної системи.

Макроекономічна динаміка — це складний процес розвитку економіки в цілому, що розглядається як єдина система, що утворюється в результаті взаємодії виробників і споживачів, кредиторів і боржників на основних ринках — товарному, грошовому та ринку ресурсів.

Аналізуючи макроекономічну систему, виокремлюють два блоки: статичний, який формує параметри системи, та динамічний, що описує траєкторію її розвитку. Динаміка описується кількома рівняннями зі змінними, на значення яких впливають параметри управління та наявна структура системи. Отже, траєкторія розвитку системи формується під впливом параметрів, що їх задає статичний блок, а він, у свою чергу, складається з рівнянь, які описують стан рівноваги на основних макроекономічних ринках.

Розглянемо модель Сарджента—Тарновського [12], доволі ком­пактну й порівняно нескладну, що дає змогу скласти цілісне уявлення про поводження макроекономіки. Ця модель складається з рівнянь, що описують:

ринок товарів і послуг;

грошовий ринок;

функції агрегованого попиту та пропозиції;

фіскальну та монетарну політику;

динаміку очікувань;

нагромадження приватного капіталу.

Ринок товарів і послуг у цій моделі задається рівнянням збалансованості доходів та агрегованих витрат Y, приватних і державних. Сукупний попит складається з приватних D (×) та очікуваних державних витрат G, які в точці рівноваги дорівнюють виробленому продукту:

. (8.1)

Характер реакції макроекономіки (приватного попиту) на зміни доходу, реальної процентної ставки та приватного багатства задають знаками перших похідних функції приватного попиту D (×) за відповідними аргументами D_і, і = 1, 2, 3 (наприклад, ). При цьому беруть 0 < D ₁ < 1, D ₂ < 0, D ₃ > 0.

Скажімо, підвищення доходу на одиницю тягне за собою зростання агрегованого приватного попиту менш як на одиницю, передбачаючи в загальному випадку збереження частки доходу. Із підвищенням реальної процентної ставки дорожчає кредит і скорочується приватний попит — звідси знак «мінус» похідної D ₂.

Дохід — це сума виробленого доходу Y, податків T, доходів від приватного багатства rb та інфляційного податку p A:

. (8.2)

У моделі вважають, що приватний сектор, оцінюючи розмір свого доходу, реагує на очікувану, а не на фактичну інфляцію. Приватне багатство А в реальному вимірі подається портфелем, що складається з двох активів: вартості грошей m = M / P, та державних облігацій b = B / P, дефльованих за індексом цін P. Отже, маємо:

A = m + b. (8.3)

Рівновага на фінансовому ринку подається співвідношенням між попитом на гроші в реальному виразі L (Y, r, A) та їх пропозицією m = M / P:

m = L (Y, r, A), L ₁ > 0, L ₂ < 0, L ₃ > 0. (8.4)

Згідно зі стандартною моделлю грошового ринку пропозиція грошей в реальному вимірі є параметром управління, хоча її можна розглядати як деяку функцію від процентної ставки, або валютного курсу.

У ринковій економіці пропозицію грошей регулюють, організовуючи дворівневу банківську систему, що складається з цен-трального та комерційних банків. Центральний банк, визначаючи обсяги своїх пасивів (готівки та обов’язкових резервів комерційних банків), безпосередньо регулює лише частину грошової пропозиції — грошову базу H, пов’язану з грошовою масою через грошовий мультиплікатор. Завдяки цьому забезпечується можливість управління грошовою масою.

Центральний банк, здійснюючи монетарну політику, використовує різноманітні інструменти: регулювання процентної ставки, валютного курсу й норми резервування, операції на ринку з державними боргами тощо. Ці інструменти дають змогу центральному банкові регулювати пропозицію грошей.

Зауважимо, попит на гроші L (Y, r, A), як функція від процентної ставки має принципово нелінійний характер. За високої ставки гроші та облігації практично не взаємозамінювані, причому попит на гроші порівняно невеликий і реакція грошового попиту на коливання процентної ставки незначна. Коли процентна ставка невисока гроші та облігації стають майже однаково привабливими засобами.

Функцію агрегованої пропозиції часто замінюють кривою Філіпса:

(8.5)

де p — фактична інфляція; p — інфляційні очікування; — рівень виробництва відповідно фактичний та потенційний; a — стала, що характеризує чутливість інфляції до змін обсягів виробництва. Отже, крива Філіпса визначає агреговану пропозицію.

У цій моделі вважається, що інфляційні очікування змінюються адаптивно:

(8.6)

У кожний момент часу очікування змінюються пропорційно до відхилення реальної та очікуваної інфляції.

Реальну вартість активів у цій моделі розглядають як суму приростів реальної вартості грошей та державних облігацій:

. (8.7)

Миттєві прирости реальної вартості грошей та облігацій подаються рівняннями:

(8.8)

де M_t ¢, В_t ¢, m ¢, b_t ¢ — перші похідні за часом, що характеризують тем­пи зміни грошової маси та державного боргу.

Держава фінансує свої реальні фактичні витрати G за рахунок податків T. Вона має профінансувати первинний дефіцит P (G – T), а також обслуговувати за ринковою процентною став­кою r державні борги rB, нагромаджені до цього часу. Вико-
нати ці завдання можна за допомогою грошової емісії M_t ¢та запозичень на вільному ринку В_t ¢. Отже, для кожного моменту часу має справджуватися рівняння фінансування бюджетного дефіциту:

(8.9)

Аналогічне рівняння фінансування бюджетного дефіциту в реальному вимірі можна дістати підстановкою (8.8) у (8.9):

(8.10)

Отже, модель являє собою систему, що складається з семи рів­нянь (8.1)—(8.6) і (8.10) і містить сім невідомих. Ця модель дає змогу відстежувати реакцію макроекономіки на зміну параметрів системи, яка визначається знаками відповідних перших похідних (табл. 8.1).

Таблиця 8.1

Короткострокові макроекономічні ефекти

Похідні	¶ Y	¶ r	¶ p
¶ G	> 0	> 0	> 0
¶ m	?	< 0	?
¶p	> 0	> 0	³ 1
¶ A	?	> 0	?

8.2. Трисекторна модель економіки

Агреговані моделі економіки використовують для аналізу основних тенденцій розвитку економіки протягом тривалого періоду часу: п’яти, десяти, двадцяти років. У таких моделях економіка описується за допомогою невеликої кількості показників. У разі дослідження довгострокових тенденцій розвитку економіки деталізувати модель не має особливого сенсу, оскільки деталізована модель ускладнюється, потребуючи прогнозування значень численних параметрів на довгострокову перспективу, що на практиці важко здійснити.

Справді, коли йдеться про опис економіки країни з урахуванням її багатогалузевої структури, доводиться прогнозувати можливості зміни технології виробництва та відповідні зміни у споживанні сировини й енергії. Тому, будуючи моделі довгострокового аналізу, намагаються використовувати в них щонайменше вихідної інформації.

Розглянемо одну з найбільш агрегованих моделей — узагальнення моделі Солоу, а саме трисекторну модель, в якій виокремлюють [6]:

нульовий сектор, що виробляє предмети праці;

перший сектор, в якому створюються засоби праці;

другий сектор, в якому виробляються споживчі товари.

До нульового матеріального сектору відносять такі галузі: добувну промисловість, електроенергетику, нафтопереробну галузь, металургію, промислову хімію тощо.

До першого (виробничого) сектору — машинобудівну галузь, металообробку, промислове будівництво.

До другого (споживчого) сектору — переробку сільськогосподарської продукції, легку та харчову промисловість, деревообробку, побутову хімію, пасажирський транспорт, торгівлю предметами споживання, громадський зв’язок тощо.

Виробничі можливості кожного із секторів задаються у вигляді неокласичних виробничих функцій:

,

де X, K, L — випуск, основні фонди та кількість зайнятих у відповідних секторах.

Стан економіки в моделі Солоу задається ендогенними змінними, до яких належать [6]: Y — валовий внутрішній продукт (ВВП); C — фонд невиробничого споживання; I_і — інвестиції; L_і — кількість зайнятих; K_і — фонди. Окрім цього в моделі застосовуються такі екзогенні змінні: n — річний темп приросту зай-
нятих (–1 < n < 1); m _і — частка вибулих протягом року виробничих фондів (0 < m < 1); r — норма нагромадження (частка валових інвестицій у ВВП, 0 < r < 1). Графічну модель трисекторної економіки наведено на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Модель трисекторної економіки

Згідно зі сказаним, використовуючи основні передумови моделі Солоу, можна дістати трисекторну модель:

L = L (0)exp(vt) (кількість зайнятих);

L ₀ + L ₁ + L ₂ = L (розподіл тих, хто працює за секторами);

динаміка продукції:

Y ₁ = I ₀ + I ₁ + I ₂ (розподіл продукції першого сектору);

Y ₀ = а ₀ Y ₀ + а ₁ Y ₁ + а ₂ Y ₂ (розподіл продукції матеріального сектору);

де а_і — коефіцієнти повних матеріальних витрат за секторами.

У відносних показниках ця модель набирає вигляду: