Сферичний надлишок

Із сферичної тригонометрії відомо, що сферичний надлишок сферичного трикутника (рис.3.2) рівний площі цього трикутника, якщо радіус сфери, на якій він розташований, . При сферичний надлишок визначається формулою

. (3.1)

Для практичних обчислень сферичного трикутника будь-якого розміру сферична тригонометрія надає формули різного виду. Серед них:

Рис. 3.2

В малих сфероїдних трикутниках і , тому тригонометричні функції малих аргументів можна розкласти в ряди із збереженням тільки перших членів розкладів:

В результаті отримаємо наступні формули:

(3.2)

Для типових довжин сторін тріангуляції формули (3.2) можна використовувати без членів в дужках

(3.3)

У випадку вимірювання всіх кутів ці формули можна перетворити так, щоб сферичний надлишок був функцією лише однієї сторони

(3.4)

В першокласних геодезичних мережах сферичний надлишок обчислюється з точністю до .

Для обчислення сферичного надлишку в кожному трикутнику, крім кутів, повинні бути відомі також довжини сторін. Вияснимо, з якою точністю повинні бути відомі довжини сторін і кути, щоб обчислений за ними сферичний надлишок мав похибку не більше .

Для рівностороннього трикутника на основі формул (3.4) можемо записати

Продиференціювавши дану формулу за змінними та , отримаємо

Прийнявши, що та , знайдемо допустимі похибки сторін і кутів для різних довжин сторін малого сферичного трикутника (табл. 3.1). В табл. 3.1 приведено також можливі значення сферичного надлишку для рівносторонніх трикутників.

Одним із основних застосувань сферичного надлишку є виявлення нев’язки у трикутнику тріангуляції

(3.5)

Таблиця 3.1