Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1. Любой степенной ряд (1) сходится при .. Таким образом, точка принадлежит области сходимости любого степенного ряда. Может ли случится, что область сходимости степенного ряда состоит из единственной точки ? Ряд
показывает, что этот случай возможен (если , то при будем иметь , и тем самым не выполнено необходимое условие сходимости числовых рядов).2.Противоположным крайним случаем является тот случай, когда ряд (1)сходится при любом , т.е. когда областью его сходимости является всячисловая прямая; что этот случай также возможен, показывает ряд
;
(при будем иметь ).
3. Во всех остальных случаях существуют такие значения , для которых ряд (1)
сходится, и такие, для которых он расходится.
Покажем, прежде всего, что область сходимости ряда (1) в этом случае есть
ограниченное множество. В самом деле, пусть – любая точка расходимости ряда (1);
в силу Теоремы 1 тогда ряд (1) должен расходится при любом , для которого и,
значит, любая его точка сходимости должна удовлетворять неравенству , что и
показывает ограниченность множества точек сходимости.
Нетрудно видеть, что если область сходимости ряда (1) не сводится к одной точке и не охватывает всю числовую прямую, то всегда существует такое , что ряд (1) сходится при и расходится при . Значит для области сходимости степенного ряда (1) справедливы включения .
Условимся при рассмотрении степенного ряда считать, что при ; вся действительная прямая при . Теперь можно сформулировать полученный результат следующим образом:
Теорема 2. Для всякого степенного ряда (1) существует такое число , что ряд
абсолютно сходится при и расходится при .
Число называют радиусом сходимости.
Теорема 2раскрывает поведение степенного ряда (1) на всей числовой прямой, за исключением при .Таким образом, задача об определении сходимости степенного ряда (1) сводится к определению радиуса сходимости и исследованию поведения ряда (1) в точках при . Задача о вычислении радиуса сходимости степенного ряда (1) полностью решается теоремой Коши - Адамара. Приведе м ее частные случаи:
1) Пусть существует . Тогда
2) В том случае, когда существует он совпадает с радиусом сходимости.
Пример1 Рассмотрим ряд
.
Имеем ; . Таким образом . При ряд сходится, так как сходится гармонический ряд . Значит область сходимости этого ряда есть .
Пример 2. Рассмотрим ряд
.
Имеем ; ; ; При мы получаем гармонический ряд , который, как мы знаем, расходится. При мы получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница. Значит область сходимости этого ряда есть .
Пример 3. Рассмотрим ряд
.
Имеем ; ; . Значит область сходимости этого ряда есть .
Дата публикования: 2014-12-11; Прочитано: 147 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!