Знакопеременные ряды

Определение 1. Знакопеременными называются ряды, члены которых поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки.

Знакопеременный ряд удобнее записывать так, чтобы знаки членов были выявлены, например

(1)

По отношению к знакопеременным рядам имеет место следующая простая теорема.

Теорема Лейбница. Если члены знакопеременного ряда (1) монотонно убывают по абсолютной величине:

(2)

и стремятся к нулю:

,

то ряд сходится.

Замечание1. Остаток ряда лейбницевского типа (так мы называем знакопеременный ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница) имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.

Это замечание часто используется при приближенных вычислениях с помощью рядов.

Пример1. Простейшим примером ряда лейбницевского типа служит ряд , сходимость которого вытекает из доказанной теоремы. В то же время ряд, составленный из абсолютных величин его членов есть гармонический ряд , который, как мы знаем, расходится. Таким образом, мы имеем пример условно (неабсолютно) сходящегося ряда.