Булевы функции. Способы их задания

Булевой функцией (БФ), или переключательной функцией (ПФ), или функцией алгебры логики (ФАЛ), от n переменных называется функция f(x₁,x₂,x_3,…,x_n), которая на любом наборе своих аргументов может принимать одно из двух значений: 0 или 1. Под набором аргументов понимается совокупность значений переменных, каждая из которых может быть равна 0 или 1. Для функции от n аргументов количество возможных наборов равно 2ⁿ. На них может быть задано (2ⁿ)ⁿ всевозможных БФ.

Способов задания БФ несколько. Одним из самых простых и наглядных является задание таблицей истинности.

Булевы функции f₁ и f₂ заданы таблицей 1.4. Таблицу следует понимать так, что в любой момент времени переменные Х₁Х₂Х₃ могут принимать одно из значений, указанных в строке левой части таблицы. Например, Х₁Х₂Х₃=001, или Х₁Х₂Х₃=110, или Х₁Х₂Х₃=011 и т. д. В правой части таблицы указаны те значения функции, которые она должна принимать на данном наборе аргументов. То есть на наборе Х₁Х₂Х₃=001 f₁=0, f₂=0 при Х₁Х₂Х₃=111 f₁=1, f₂=0, а на наборе Х₁Х₂Х₃=100 f₁=1, f₂=1 и т. д.

Таблица 1.4

Таблица истинности БФ f1 и f2

X1	X2	X3	f1	f2

На рис. 1.7 таблица 1.4 развернута в виде диаграмм (осциллограмм) сигналов. На рисунке показаны изменения значений сигналов Х₁,Х₂,Х₃ в дискретные моменты времени. Например, в момент Т₀ переменные Х₁=0, Х₂=0, Х₃=0, функции f₁=0, f₂=1. В момент Т₃ Х₁=0, Х₂ =1, Х₃=1, функции f₁=0, f₂=0 и т. д.

Рис. 1.7. Диаграмма сигналов таблицы 1.4

Кроме табличного способа БФ может быть задана алгебраически или аналитически, т. е. формулой, состоящей из булевых переменных, объединенных знаками логических операций. Например:

Табличный и алгебраический способы задания взаимнооднозначны.

Существует еще несколько способов задания БФ. Они будут рассмотрены в следующих разделах.