Понятие предела функции

а) основной

1. Глинка Н.Л. Общая химия. М.: Химия, 1977 – 1982. - 704 с.

2. Ахметов Н.С. Общая и неорганическая химия. – М.: Высшая школа, 1998. – 744 с.

3. Князев Д.А., Смарыгин С.Н. Неорганическая химия. - М.: Высшая школа, 1990. – 430 с.

4. Фролов В.В. Химия. - Л.: Химия, 1986. – 350 с.

5. Кульман А.Г. Общая химия. – М.: Колос, 1979. – 430 с.

6. Лучинский Г.П. Курс химии. - М.: Высшая школа, 1979. – 480 с.

б) дополнительный

1. Кузьменко Н.Е., Еремин В.В., Ионков В.А. Начала химии. Современный курс для поступающих в вузы. М. 1998. 1, 2 том.

2. Химия. Учебник для 8-11 классов средней школы.

Лицензия РБ на издательскую деятельность № 0261 от 10 апреля 1998г.

Подписано в печать ________2012 г. Формат 60´84 Бумага типографская.

Гарнитура Таймс. Усл..печ.л. ___. Усл..изд.л. ___ Тираж ____экз. Заказ № ____

Издательство Башкирского государственного аграрного университета.

Типография Башкирского государственного аграрного университета.

Адрес издательства и типографии: 450001. г.Уфа. ул. 50-лет Октября. 34

РАЗДЕЛ 1. Дифференциальное исчисление

Лекции 2 и 3. Предел функции

Понятие предела функции

Понятие предела является фундаментальным в математическом анализе. С его помощью вводятся понятия производной, интеграла, непрерывности и т.д.

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности X точки a, кроме, быть может, самой точки a.

Определение 1 (определение по Коши): Число b называется пределом функции f (x) при х ® а, если для любого числа ε > 0, которое может быть сколь угодно малым, существует окрестность точки а, в которой при всех допустимых значениях x ≠ a выполняется | f (x) – b | < ε.

Точка а – точка прикосновения множества D (допустимых значений x), т.е. точка, в любой окрестности которой находятся значения x, кроме, быть может, самой точки a.

Другая формулировка определения предела: Число b называется пределом функции f(x) в точке а (при х ® а), если для любого сколь угодно малого ε > 0 существует такое зависящее от ε число δ(ε)>0, что при всех х ≠ a, удовлетворяющих условию 0 < | х – а | < δ, выполняется неравенство | f (x) – b | < ε.

Запись определения предела с помощью логических символов (кванторов):

Здесь: - символ равносильности; символ - вместо фразы «для любого», - «найдется (существует)»,: - «такое, что».

Геометрический смысл предела функции в точке a (рис.1).

Рис.1

Построим график функции у = f (x), точки х = а, у = b (рис.1). Возьмем произвольное сколь угодно малое число ε > 0 и построим на оси OY ε-окрестность относительно числа b: (b -ε; b +ε) и проведем прямые у = b + ε, у = b – ε. Число b будет пределом функции f (x) при х ® а, если на оси ОХ найдется такая δ-окрестность точки а (a -δ; a +δ), при попадании в которую значений аргумента х часть графика функции f (x) попадает внутрь полосы, ограниченной ε-окрестностью числа b.

При уменьшении числа ε интервал (b -ε; b +ε) будет стягиваться к числу b. Соответствующий ему интервал (a -δ; a +δ) будет стягиваться к числу a. Это и доказывает, что .

Дадим в общих словах понятие предела функции непрерывного аргумента у=f (х) в точке a.

Пределом функции f (х) называется число b, к которому она стремится при стремлении аргумента x к числу a, если значения f (х) сколь угодно близко приближаются к числу b, когда значения переменной x сколь угодно близко приближаются к числу a.

Обозначение предела: .

В этом определении рассматриваются значения x, сколь угодно близкие к числу a, но не совпадающие с a. Это означает, что точка a имеет δ-окрестность малой величины такую, что 0<| х - а |<δ.

Проиллюстрируем понятие предела функции на примере.

Пример 1. Рассмотрим функцию f (х)= х ². Нужно узнать, к чему стремится (не равна!) функция при x → 2.

Запишем предел: и посмотрим на график (рис.2). Проведем параллельно 0 Y линию через точку 2 на оси 0 X. Она пересекает график в точке М (2; 4). Опустив из этой точки на ось 0 Y перпендикуляр, получим значение 4. К этому числу и стремится функция f (х)= х ² при x → 2. Заметим, что для нахождения предела необходимо просто подставить в функцию f (х)= х ² значение 2 и ответ будет таким же.

Рис.2

Пример 2. Доказать, что .

Решение. Функция f (x)=2 х +1 определена всюду (на всей числовой оси), включая точку a =1, в которой f (1)=3.

Согласно определению | f (x)- b |<ε, рассмотрим для любого ε > 0 неравенство |(2 х +1) - 3| < ε (здесь b =3).

Оно эквивалентно неравенству |2(х - 1)| < ε или | х - 1| < ε/2.

Таким образом, для любого ε > 0 существует такое число δ=ε/2 (для ε = 0,1 δ=0,05; для ε = 0,01 δ=0,005 и т.д.), что для всех х ≠ 1 и удовлетворяющих условию | х - 1| < δ=ε/2 будет справедливо неравенство | f (x) - 3| = |(2 х +1) - 3| < ε. Это и означает, что .

Пример 3. Доказать, что .

Решение. Функция f (x)= х +1 определена всюду, включая точку a =2, в которой f (2)=3.

Согласно определению | f (x)- b |<ε, рассмотрим неравенство

|(х +1) - 3| < ε или | х - 2| < ε. Таким образом, для любого ε > 0 можно взять δ=ε. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству | х - 2| < δ, будет справедливо неравенство |(х +1) - 3| = < ε. Это и означает, что .