Свойства предела функции

Свойства предела функции

Из эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне многие важные свойства предела функции, очевидно, немедленно следуют из соответствующих свойств предела последовательности: единственность предела, арифметические свойства предела, предельный переход в неравенствах.

Сформулируем и приведем для примера доказательства некоторых теорем с использованием определений предела по Коши или по Гейне.

1. Функция имеет конечный предел при тогда и только тогда, когда , где - бесконечно малая при .

2. Теорема (о единственности предела). Если и , то .

3. Теорема (о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел). Пусть функция имеет конечный предел при . Тогда будет ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки .

4. а) Теорема. Пусть и - бесконечно малые функции при , тогда их сумма также будет бесконечно малой при .

б) Теорема. Пусть - бесконечно малая функция при , а функция ограничена в . Тогда произведение есть бесконечно малая при .

в) Теорема. Пусть и - бесконечно малые функции при , тогда их произведение также будет бесконечно малой при .

5. Теорема (о пределе суммы). Пусть . Тогда существует предел .

6. Теорема (о пределе произведения). Пусть . Тогда существует предел .

7. Теорема (о пределе частного). Пусть , причем . Тогда существует предел частного .

8. Теорема. Пусть функции определены в некоторой проколотой окрестности точки - , и пусть в этой окрестности выполнено неравенство , а также существуют и равны пределы и . Тогда .

9. Теорема. Пусть функции определены в некоторой проколотой окрестности точки - , и пусть в этой окрестности выполнено неравенство , а также существуют и равны пределы . Тогда существует предел .

10. Теорема. Пусть - бесконечно малая функция при , причем в некоторой проколотой окрестности точки - , тогда функция будет бесконечно большой при .

11. Теорема. Если - бесконечно большая функция при , причем в некоторой проколотой окрестности точки - , то функция является бесконечно малой при .

Утверждение пункта 1 следует непосредственно из определения.

Доказательство утверждения пункта 2 (с использованием определения предела по Гейне). 4 Из условий теоремы следует, что для любой последовательности такой, что и будет справедливо или . Но так как у сходящейся последовательности не может быть двух разных пределов, то .3

Доказательство утверждения пункта 3 (с использованием определения предела по Коши). 4Возьмем и выберем окрестность , в которой выполняется неравенство . Тогда для будет справедливо

,

что означает ограниченность функции в .3

Обратное утверждение, как и в случае последовательностей, неверно. Примером может послужить функция при .

Доказательство утверждения пункта 4а (с использованием определения предела по Коши).

Доказательство. Возьмем произвольное . Существует некоторая окрестность , в которой верно неравенство , а в некоторой окрестности будет верно . Тогда для всех из пересечения этих окрестностей (в окрестности с радиусом ) будет выполнено .

Упражнение. Докажите утверждения пунктов 4б и 4в.

Доказательство утверждения пункта 7. (с использованием определения прела по Коши).

Лемма. Пусть существует , причем . Тогда функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки .

Доказательство. ►Возьмем и найдем окрестность , в которой . Для всех будет справедлива оценка

, ,

а значит, для всех значений из этой окрестности , что означает ограниченность функции .◄

Доказательство теоремы. Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые функции при . Поэтому

,

где - бесконечно малая при . То есть или .

Упражнение. Докажите утверждения пунктов 5 и 6.

Доказательство утверждения пункта 9 (с использованием определения предела по Гейне). 4Из условий теоремы следует, что для любой последовательности такой, что и будет справедливо , а также, что с некоторого номера (когда члены последовательности попадут в ) будет выполняться неравенство . Применим теорему о предельном переходе в двух неравенствах к последовательностям . Получим существование предела для любой последовательности , сходящейся к (). Следовательно, для функции в выполнены все условия существования предела по Гейне. 3

Упражнение. Докажите утверждение пункта 8.

Доказательство утверждения пункта 10 (с использованием определения предела по Гейне). Так как - бесконечно малая функция при , то для любой последовательности такой, что и будет справедливо , то есть последовательность - бесконечно малая. Но тогда последовательность будет бесконечно большой, а значит .

Упражнение. Докажите утверждение пункта 11.

Что касается свойств непрерывных функций, то ограниченность непрерывной функции в окрестности точки, непрерывность линейной комбинации, произведения и частного (при условии отличия от нуля знаменателя в точке) двух непрерывных функций являются тривиальными следствиями соответствующих свойств предела функции.

Для примера докажем утверждение о непрерывности суммы непрерывных функций.

Утверждение. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда их сумма также будет непрерывной в точке .

Доказательство. Имеем и . Тогда .

Докажем вариант теоремы о предельном переходе в неравенстве для непрерывных функций.

Теорема (о сохранении знака непрерывной функцией). Пусть функция непрерывна в точке и пусть . Тогда сохраняет знак в некоторой окрестности точки .

Доказательство. 4Предположим для определенности, что . Положим . Из непрерывности функции в следует, что существует окрестность , в которой выполнено неравенство . Тогда для будет верно

.3

Упражнение. Пользуясь теоремами об арифметических действиях с пределами функций сформулируйте и докажите теорему о непрерывности линейной комбинации непрерывных функций, теоремы о непрерывности произведения и частного.