Предел функции

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Рис. 4.1

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х ® а, если для любого e > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х таких, что

0 < ï x - a ï < δ

верно неравенство ï f(x) - A ï< e.

То же определение может быть записано в другом виде:

если а - δ < x < a + δ, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке: .

При определении предела функции предполагается, что х стремится к а произвольным образом: оставаясь меньше, чем а (слева от а), большим, чем а (справа от а), либо колеблется около точки а. Поэтому имеет смысл ввести понятия односторонних пределов.

Определение. Если f(x) ® A₁ при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A₂ при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа (рис. 4.2).

Рис. 4.2.

Таким образом, условие существования предела функции сводится к тому, что при х ® а для функции f(x) должны существовать левосторонний и правосторонний пределы и при этом они должны быть равными.