Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Теперь мы уже подготовлены к тому, чтобы отыскать матрицу преобразования Rji, связывающую два разных представления, Владея нашим правилом объединения поворотов и нашим предположением, что в пространстве нет предпочтительного направления, мы владеем ключом для отыскания матрицы любого произвольного поворота. Решение здесь только одно. Начнем с преобразования, которое отвечает повороту вокруг оси z. Пусть имеются два прибора S и Т, поставленных друг за другом вдоль одной прямой; оси их параллельны и смотрят из страницы на вас (фиг. 4.4, а).
Фиг. 4.4. Поворот на 90° вокруг оси z.
Это их направление мы примем за ось z. Ясно, что если пучок в приборе S идет вверх (к + z), то то же будет и в аппарате Т. Точно так же, если он в S идет вниз, то и в Т он направится вниз. Положим, однако, что прибор Т был повернут на какой-то угол, но его ось, как и прежде, параллельна оси прибора S, как на фиг. 4.4, б. Интуитивно хочется сказать, что пучок (+) в S будет по-прежнему переходить в пучок (+) в Т, потому что и поля, и их градиенты характеризуются тем же физическим направлением. И это вполне правильно. Точно так же и пучок (-) в S будет переходить в пучок (-) в Т. Тот же результат применим для любой ориентации Т в плоскости ху прибора S. Что же отсюда следует для связи между С'+= <+T|y>, С'- =<- T |y> и С+ =<+ S |y>, С-= <- S |y>? Можно подумать, что любой поворот вокруг оси z «системы отсчета» базисных состояний оставляет амплитуды С± пребывания «вверху» и «внизу» теми же, что и раньше, и написать С'+=С+ и С'-= С-. Но это неверно. Все, что можно отсюда заключить,— это, что при таких поворотах вероятности оказаться в «верхнем» пучке приборов S и Т одинаковы, т. е.
Но мы не вправе утверждать, что фазы амплитуд, относящихся к прибору Т, не могут в двух различных ориентациях а и б (фиг. 4.4) различаться.
Пары приборов, показанных на фиг. 4.4, на самом деле отличаются друг от друга, в чем можно убедиться следующим образом. Предположим, что мы перед прибором S поставили другой, создающий чистое (+ x)-состояние. (Ось х направлена на рисунке вниз.) Эти частицы расщеплялись бы в S на пучки (+ z) и (- z), но на выходе S (в точке Р 1 ) оба пучка снова соединялись бы и восстанавливали состояние (+ х). Затем то же самое происходило бы в Т. Если бы за Т поставить третий прибор U, ось которого направлена по (+ х). как показано на фиг. 4.5, а, то все частицы пошли бы в пучок (+) прибора U.
Фиг. 4.5. Частица в состоянии (+х) ведет себя в опытах а и б по-разному.
Теперь представим, что произойдет, если Т и U вместе повернуть на 90°, как показано на фиг. 4.5, б. Прибор Т опять будет пропускать все, что в него поступает, так что частицы, входящие в U, будут в (+ x)-состоянии по отношению к S. Но U теперь анализирует состояние (+ y) (по отношению к S), а это совсем не то, что раньше. (Из симметрии следует ожидать, что через него пройдет только половина частиц.)
Что же могло перемениться? Приборы Т и U по отношению друг к другу расположены одинаково. Могла ли измениться физика просто из-за того, что Т и U иначе ориентированы? Нет, гласит наше первоначальное предположение. Значит, различаться в двух случаях, показанных на фиг. 4.5, должны амплитуды по отношению к Т. То же должно быть, следовательно, и на фиг. 4.4. Частица должна как-то уметь узнавать, что в Р 1 она завернула за угол. Как же она может об этом поведать? Что ж, остается только одно: величины С'+ и С'+ в обоих случаях одинаковы, но могут — а на самом деле должны — обладать разными фазами. Мы приходим к заключению, что С'+ и С+ должны быть связаны формулой
а С'- и С —формулой
где l, и m — вещественные числа, которые как-то должны быть связаны с углом между S и Т.
В данный момент единственное, что мы можем сказать про lи m,— это то, что они не могут быть равны друг другу (кроме показанного на фиг. 4.5, а особого случая, когда Т и S ориентированы одинаково). Мы видели, что изменение всех амплитуд на одну и ту же фазу ни к каким физическим следствиям не приводит. По той же причине всегда можно добавить к lи mлюбое постоянное число — это тоже ничего не изменит. Значит, нам представляется возможность выбрать lи mравными плюс и минус одному и тому же числу. Всегда можно взять
Тогда
Итак, мы договоримся считать m=-l и придем к общему правилу, что поворот прибора, относительно которого ведется отсчет, вокруг оси z на какой-то угол приводит к преобразованию
Абсолютные значения одинаковы, а фазы различны. Эти-то фазовые множители и отвечают за различные результаты двух опытов, показанных на фиг. 4.5.
Теперь надо узнать закон, связывающий X с углом между S и Т. Для одного случая ответ известен. Если угол — нуль, то и l — нуль. Теперь предположим, что фазовый сдвиг l, есть непрерывная функция угла j между S и Т (см. фиг. 4.4) при j, стремящемся к нулю. По-видимому, это единственное разумное допущение. Иными словами, если свернуть Т с прямой линии S на малый угол e, то и lтоже будет малым числом, скажем m e, где m — некоторый коэффициент. Мы пишем те, потому что можем доказать, что l обязано быть пропорционально e. Если бы мы поставили за T новый прибор Т, тоже образующий с Т угол e, а с S тем самым образующий угол 2e, то по отношению к Т мы бы имели
а по отношению к T'
Но мы знаем, что, должны были бы получить тот же результат если бы сразу за S поставили Т'!Значит, когда угол удваивается, то удваивается и фаза. Эти аргументы мы можем, естественно, обобщить и построить любой поворот из последовательных бесконечно малых поворотов. Мы заключаем, что К пропорционально j для любого угла j. Поэтому всегда можно писать l=mj.
Общий полученный нами результат состоит, следовательно, в том, что для Т, повернутого вокруг оси z относительно S на угол j,
Для угла j и для всех поворотов, которые встретятся нам в будущем, мы условимся считать, что положительным поворотом будет поворот правого винта, который ввинчивается в положительном направлении z.
Теперь остается узнать, каким должно быть m. Попробуем сперва следующее рассуждение: пусть Т повернулся на 360°; ясно, что тогда он опять очутится под нулем градусов, и мы должны будем иметь С'+ = С+ и С'-= С-, или, что то же самое, eim2p= 1. Мы получаем m =1. Это рассуждение не годится!
Чтобы убедиться в этом, допустим, что Т повернут на 180°. Если бы т было равно единице, мы получили бы
Но это просто опять получилось первоначальное состояние. Обе амплитуды попросту умножены на -1; это возвращает нас к исходной физической системе. (Опять случай всеобщей перемены фаз.) Это означает, что если угол между Т и S на фиг. 4.5, б увеличивается на 180°, то система (по отношению к Т) оказывается неотличимой от случая 0° и частицы должны опять проходить через состояние (+) прибора U. Но при 180° состояние (+) прибора U — это состояние (- х) начального прибора S. Так что состояние (+ x) станет состоянием (-х). Но мы-то ведь ничего не делали для изменения начального состояния; ответ поэтому ошибочен. Не может быть, чтобы т =1.
Нет, все должно быть иначе: надо, чтобы только поворот на 360° (и ни на какие меньшие углы) воспроизводил то же самое физическое состояние. Это случится при m =1/2. Тогда и только тогда первым углом, воспроизводящим то же самое физическое состояние, будет угол j=360°. При этом будет
Очень курьезно вдруг обнаружить, что поворот прибора на 360° приводит к новым амплитудам. Но на самом деле они не новы, потому что одновременная перемена знака ни к какой новой физике не приводит. Если кто-нибудь задумает переменить все знаки у всех амплитуд, подумав, что он повернулся на 360°, то это его дело — физику он получит ту же, прежнюю. Итак, наш окончательный ответ таков: если мы знаем амплитуды С+ и С- для частиц со спином 1/2 по отношению к системе отсчета S и если затем мы используем базисную систему, связанную с Т (Т получается из S поворотом на j относительно оси z), то новые амплитуды выражаются через старые так:
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 175 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!