Линейные пространства

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Введение. Основные понятия и определения.

§1. Аксиоматика линейных пространств.

Определение. Линейным пространством L = { a,b,c,… } называется множество, относительно элементов которого определены операции сложения и умножения на число, причем результаты этих операций принадлежат этому же множеству (говорят, что L замкнуто относительно операций сложения и умножения на число): .

(Элементы линейных пространств также будем называть векторами)

Для эти операции удовлетворяют следующим условиям:

1. a + b = b + a (коммутативность сложения).

2. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).

3. .

4.

5. 1 ·а = а.

6.

7. (α + β) а = αа + βа (дистрибутивность).

8. α (а + b) = αa + αb (дистрибутивность).

Перечисленные свойства, обычно, называют аксиомами. Имеют место теоремы:

Теорема 1. Нулевой элемент – единственен.

{От противного: 0₁,0₂; 0₁+0₂=0₁ и 0₂+0₁=0₂ (акс. (3)). Из акс.(1) следует: 0₁=0₂}

Теорема 2. противоположный элемент – единственен.

{Пусть для }

Теорема 3. 0 ·а = 0.

{ }

Теорема 4.

{ }

Примеры.

§2. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.

Определение 1. Сумма называется линейной комбинацией элементов а ₁, а ₂ ,…,а_n с коэффициентами λ_k.

Определение 2. Система элементов линейного пространства { a₁,…,a_n } называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ₁,…,λ_n не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.

Определение 3. Система элементов линейного пространства { a ₁ ,…,a_n } называется линейно

независимой, если ее линейная комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами:

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). a ₁ ,…,a_n – линейно зависима когда хотя бы один из элементов является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: { a_k } – л.з.): . Пусть, для определенности, а₁ – линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: a_m – л.к.): }

Теорема 2. Если один из элементов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{ }

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{ }

Примеры.

1) 2)

3) { f ₁ = 1, f ₂ = x, f ₃ = x ²} – линейно независимы.

§3. Базис. Размерность. Координаты.

Определение 1. Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:

1) Система линейно независима.

2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов ):

Примеры. Базис на плоскости (V ₂ – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V ₃ – 3 некомпланарных вектора), в пространстве Rⁿ (канонический базис), в пространстве многочленов степени ≤ n − (1 ,х,х ² ,…,хⁿ).

Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.

{Пусть }

Определение 2. Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису.

(В силу Т. 1 это определение корректно)

Будем писать: .

В дальнейшем, по умолчанию, будем считать вектор вектором – столбцом, в противном случае будем писать строку координат в явном виде: либо как

Теорема 2. При сложении векторов их координаты складываются:

{ }

Теорема 3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

λа = (λα ₁ ,…,λα_n). { }

Определение 3. Размерностью линейного пространства L (обозначается dim L) называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.

Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.

Теорема 4. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов. {б/д}

Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Примеры. V ₂; V ₃; Rⁿ.

§4. Подпространства линейных пространств. Линейные оболочки.

Определение 1. Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество

элементов L, которое само является линейным пространством.

Т.е. подпространство замкнуто относительно операций сложения и умножения на число и содержит нулевой элемент. (Все аксиомы выполняются автоматически).

Примеры. , множество решений однородной СЛАУ.

Определение 2. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы. Обозначают: rang .

Определение 3. Линейной оболочкой системы элементов , принадлежащих L, называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов (иногда говорят линейная оболочка, натянутая на систему векторов): .

Непосредственно из определения следует, что любая линейная оболочка является линейным пространством, а любое линейное пространство – линейной оболочкой натянутой на какой-либо базис этого пространства.

Теорема 1. (Основное свойство линейных оболочек). Любой вектор системы , линейно зависящий от остальных, можно исключить без изменения линейной оболочки.

{Пусть, для определенности, а произвольный. Тогда

, т.е. }

Следствие. Размерность линейной оболочки равна рангу соответствующей системы элементов: