Тема 2. Фінансові обчислення в комерційних угодах

1. Термінологія фінансових обчислень.

2. Нарощування і дисконтування за схемами простих і складних відсотків.

3. Банківське нарощування і дисконтування.

4. Номінальна та ефективна відсоткові ставки.

5. Зміна умов фінансової угоди. Еквівалентні ставки.

6. Фінансові ренти.

1. Фінансовий менеджмент вимагає постійного здійснення різних фінансово-економічних розрахунків, пов'язаних з потоками коштів у різні періоди часу. Ключову роль у цих розрахунках відіграє оцінка вартості грошей у часі.

Концепція вартості грошей у часі полягає в тому, що вартість грошей з часом змінюється з урахуванням норми прибутку на фінансовому ринку, в якості якої звичайно виступає норма позичкового відсотка.

Концепція вартості грошей у часі відіграє основну роль у практиці фінансових обчислень. Вона визначає необхідність врахування фактора часу в процесі здійснення будь-яких довгострокових фінансових операцій шляхом оцінки і порівняння вартості грошей при початку фінансування з вартістю грошей при їхньому поверненні у вигляді майбутнього прибутку, амортизаційних відрахувань, основної суми боргу і т.п.

Оцінка вартості грошей з урахуванням фактора часу вимагає попереднього розгляду пов'язаних з нею базових понять, основні з яких наступні.

Відсотки - сума доходу від надання капіталу в борг або плата за користування позичковим капіталом у всіх його формах (депозитний відсоток, кредитний відсоток, відсоток по облігаціях і т.п.).

Простий відсоток – сума доходу, що нараховується до основної суми капіталу в кожному інтервалі, по якому подальші розрахунки платежів не здійснюються. Нарахування за простими відсотками застосовується, як правило, при короткострокових фінансових операціях.

Складний відсоток – сума доходу, що нараховується в кожному інтервалі, яка не виплачується, а приєднується до основної суми капіталу й у наступному платіжному періоді сама приносить доход. Нарахування складного відсотку застосовується переважно при довгострокових фінансових операціях (інвестуванні, кредитуванні і т.п.).

Відсоткова ставка (ставка відсотка) – питомий показник, відповідно до якого у встановлений термін виплачується сума відсотка в розрахунку на одиницю капіталу. Звичайно ставка відсотка характеризує співвідношення річної суми відсотка і суми наданого (запозиченого) капіталу (виражене в десятковій дробі або у відсотках).

Майбутня вартість грошей – сума інвестованих у даний момент коштів, у яку вони перетворяться через певний період часу з урахуванням визначеної ставки відсотку (відсоткової ставки).

Теперішня вартість грошей – сума майбутніх коштів, приведених з урахуванням визначеної ставки відсотка до теперішнього періоду часу.

Нарощування вартості (компаундінг) – процес приведення теперішньої вартості грошей до їхньої майбутньої вартості у певному періоді шляхом приєднання до їхньої суми суми нарахованих відсотків.

Дисконтування вартості – процес приведення майбутньої вартості грошей до їхньої теперішньої вартості шляхом вилучення з їхньої майбутньої суми відповідної суми нарахованих відсотків (дисконту).

Період нарахування – загальний період часу, протягом якого здійснюються процеси нарощення або дисконтування вартості коштів.

Інтервал нарахування – обумовлений конкретний термін часу (в межах загального періоду нарахування), у рамках якого розраховується окрема сума відсотка по встановленій його ставці (здійснюється окремий платіж відсотка).

Попередній метод нарахування відсотка – спосіб розрахунку платежів, при якому нарахування відсотка здійснюється на початку кожного інтервалу.

Наступний метод нарахування відсотка – спосіб розрахунку платежів, при якому нарахування відсотка здійснюється наприкінці кожного інтервалу.

Дискретний грошовий потік – потік платежів на вкладений капітал, що має чітко обмежений період нарахування відсотків і кінцевий термін повернення основоної його суми.

Безперервний грошовий потік – потік платежів на вкладений капітал, період нарахування відсотків по якому не обмежений а, відповідно, не визначений і кінцевий термін повернення основної його суми.

Ануїтет – тривалий потік платежів, що характеризується однаковим розміром платежу і однаковим інтервалом між двома суміжними платежами.

2. При розрахунку суми простого відсотка в процесі нарощування вартості використовується формула

I = P*n*i,

де I - сума відсотка за обумовлений період часу в цілому;

P - первісна сума (вартість) коштів;

n - кількість інтервалів, по яких здійснюється розрахунок відсоткових платежів у загальнообумовленому періоді часу;

і - ставка відсотка, що застосовується при розрахунках, виражена десятковим дробом.

У цьому випадку майбутня вартість внеску (S) з урахуванням нарахованої суми відсотка визначається за формулою

S = P+I=P*(1+ni)

Множник (1+ni) називається множником (коефіцієнтом) нарощення суми простих відсотків. Його значення завжди більше одиниці.

При розрахунку суми простого відсотка у процесі дисконтування вартості використовується формула

D = S – S* (1 / 1+ ni),

де D - сума дисконту (розрахована по простих відсотках) за обумовлений період часу в цілому;

S - майбутня вартість коштів;

n - кількість інтервалів нарахування, по яких здійснюється розрахунок процентних платежів, у загальнообумовленому періоді часу;

i - дисконтна ставка відсотка, виражена десятковим дробом.

У цьому випадку теперішня вартість коштів (Р) з урахуванням розрахованої суми дисконту визначається за наступною формулою:

P = S – D = S*(1 /1+ni)

Множник (1/1+ni) називається дисконтним множником (коефіцієнтом) суми простих відсотків, його значення завжди менше одиниці.

При розрахунку майбутньої суми внеску (вартості коштів) у процесі його нарощування за складними відсотками використовується формула

Sc = P*((1+i)^ⁿ),

де Sc – майбутня вартість внеску (коштів) при його нарощуванні за складними відсотками;

P – первісна сума внеску;

i – ставка відсотка, виражена десятковим дробом;

n – кількість інтервалів, по яких здійснюється кожний відсотковий платіж, у загальнообумовленому періоді часу.

Відповідно сума відсотка (Iс) у цьому випадку визначається за формулою

Iс = Sс – P

При розрахунку теперішньої вартості коштів у процесі дисконтування за складними відсотками використовується формула

Pc = S/((1+i)^ ⁿ),

де Pс – первісна сума внеску;

S – майбутня вартість внеску при його нарощуванні за складними відсотками;

i – дисконтна ставка, виражена десятковим дробом;

n – кількість інтервалів, по яких здійснюється кожний відсотковий платіж, у загальнообумовленому періоді часу.

Відповідно сума дисконту (Dс) у цьому випадку визначається за формулою

Dс = S – Pс.

3. Переважно облікова ставка використовується при здійсненні операції “облік векселів”. Зміст операції банківського обліку (банківського дисконтування) полягає в наступному: банк до настання строку платежу за векселем або іншим зобов’язанням купує його у власника за ціною меньшою ніж сума, яка повинна бути сплачена за ним у кінці строку, тобто обліковує його з дисконтом. Банк отримує прибуток у вигляді дисконту, а власник векселя – гроші раніше строку.

У цьому випадку виникає необхідність визначення суми, яку необхідно проставити у векселі, якщо відомі теперішня сума боргу, його строк та облікова ставка. У разі використання облікової ставки відсотки за користування позичкою нараховуються на суму, яка підлягає сплаті наприкінці строку позички, тобто на кінцеву (майбутню) вартість.

Якщо облікова ставка d, то за визначенням вона дорівнює

d = (S-P)/S.

При розрахунку теперішньої вартості за простою обліковою ставкою використовується формула

Р = S(1-dn).

Дисконтування за складною обліковою ставкою здійснюється за формулою

Р = S(1-d)^ⁿ.

Формула для визначення майбутньої вартості за простою обліковою ставкою наступна

S = P/(1-dn)

Нарощування за складною обліковою ставкою відбувається за формулою

S = P/(1-d)^ⁿ.

Аналогічно до математичного нарощування та дисконтування:

1/(1-dn) та 1/(1-d)^ⁿ - множники нарощування відповідно за простою і складною обліковою ставкою;

(1-dn) та (1-d)^ⁿ – множники дисконтування відповідно за простою і складною обліковою ставкою.

Розглянуті два методи дисконтування (математичне і банківське) приводять до різних результатів, навіть у випадку, коли і = d. Облікова ставка враховує фактор часу більш строго, і при відносно великому терміні векселя зарахування може привести до нульової або від’ємної суми, що позбавлено змісту. Вплив фактору часу посилюється при збільшенні величини ставки. Дана ситуація не виникає при математичному дисконтуванні: при будь- якому терміні часу величина платежу в даному випадку більше за нуль.

При розробці умов контрактів та їх аналізі виникає необхідність у розв'язанні ряду вторинних задач – визначенні терміну позики або розміру відсоткової ставки в тому чи іншому вигляді при всіх інших заданих умовах.