Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.

Если случайная величина x может принимать только одно значение а с вероятностью 1, то = а ×1= а.

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.

Докажем это свойство. Пусть случайная величина x принимает значения с вероятностями , а случайная величина y принимает значения с вероятностями . Тогда величина x= x+y может принимать значения (, ) с вероятностями , где - вероятность того, что x примет значение , а y примет значение . Согласно формуле полной вероятности , а .

Следовательно, +

+ = + = .

3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Случайные величины x и y принято называть независимыми, если они являются численными характеристиками независимых случайных событий.

Если величины x и y независимы, то в обозначениях, введенных выше, случайная величина может принимать значения (, ) с вероятностями ( - вероятность того, что x примет значение , а y примет значение ).

Следовательно,

.

4. Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак математического ожидания.

Заметим, что это свойство является прямым следствием свойств 1 и 3, т.к. .

Пользуясь свойствами математического ожидания, преобразуем формулу для вычисления дисперсии: =

= = = .

Следовательно, дисперсия может быть найдена так же по формуле

.

Этой формулой удобно пользоваться при вычислении дисперсии на практике. Из этой формулы и свойств математического ожидания вытекают следующие свойства дисперсии.