ПРИМЕР. Задание № 3-3.Методом разделения переменных (методом Фурье) решить задачу с уравнением в частных производных.

Задание № 3-3. Методом разделения переменных (методом Фурье) решить задачу с уравнением в частных производных.

при заданных краевых условиях

Разлагая правую часть уравнения в ряд Фурье

в результате имеем выражения для коэффициентов представления искомой функции

и содержит отличные от нуля только слагаемые с четными номерами, с нечетные -нулевые.

6.5. Общее решение УрЧП Пуассона для кругового кольца

Записав оператор Лапласа в полярной системе координат

(32)

и правую часть, представимую рядом Фурье, искомое решение также представляем рядом Фурье

(33)

компоненты которого определяются ЛОДУ второго порядка эйлерова типа

(34)

Общее решение этой системы имеет вид

(35)

где постоянные интегрирования определяются из соответствующих краевых (граничных) условий.

Литература.

1. Арсенин В.Я. Математическая физика.Основные уравнения и специальные функции -М.: Наука, 1966. -368 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.т.2 –М.: Наука. Физматлит, 1985. –554 с.

3.Тихонов А.Н., Самарский А.А.. Уравнения математической физики.–М.: Наука, 1966. – 724 с.

4.Смирнов В.И. Курс высшей математики. т.2. –М.: Наука, Физматлит. 1967. – 416 с.

5. Араманович И.Г., Левин В.И.. Уравнения математической физики. –М.: Наука, Физматгиз. 1969.- 287 с.

6. Михлин С.Г.. Уравнения математической физики. –М.: Наука, Физматгиз. 1968. – 575 с.

7. Петровский И.Г.. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Физматлит. 1961.-400с.

8. Коган Е.А., Попович В.Е.. Ряды Фурье. Дифференциальные уравнения в частных производных. Теория вероятностей. Ч.2.(Методическое пособие № 1393 (1155)).-М.: МАМИ. 1988. –99с.

9. Коган Е.А., Лопаницын Е.А.. Ряды Фурье. Уравнения математической физики.

(Методическое пособие).-М.: МАМИ. 2004. –89с.

10. Сборник задач по математике для втузов. Ч.1-2. /Болгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., Коган С.М., Лунц Г.Л., Поспелов А.С., Фролов С.В., Шостак Р.Я., Янпольский А.Р..-М.: Наука, Физматгиз, 1986. –426 с.,– 368с.

11. Владимиров В.С.. Уравнения математической физики. –М.: Физматлит. 1967. – 436 с.

12. Соболев С.Л.. Уравнения математической физики. –М.: наука, Физматлит. 1966. -444 с.

13. Положий Г.Н.. Уравнения математической физики. – М.: Высшая школа. 1964. –560 с.

14. Годунов С.К.. Уравнения математической физики. –М.: Наука Физматлит. 1971. – 414 с.

15. Кошляков Н.С.. Основные уравнения математической физики. Фихматгиз. 1962. –892 с.

16. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н.. Сборник задач по математической физике. –М.: Гостехиздат. 1956. –234 с.

17. Лебедев Н.Н., Скальский И.П., Уфлянд Я.С... Сборник задач по математической физике. –М.: Гостехиздат. 1955. –164 с.

18. Смирнов В.И.. Задачи по уравнениям математической физики. –М.: Наука. Физматиздат. 1956. –262 с.