Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим однородную систему уравнений:
Такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение
Однако, при определенных условиях она может иметь и ненулевое решение.
Теорема (критерий ненулевого решения однородной системы уравнений). Для того, чтобы однородная система уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.
Будем рассматривать ненулевые решения системы как столбцы, состоящие из n элементов; обозначим их
Линейно независимая система решений называется фундаментальной системой решений, если любое другое решение является линейной комбинацией решений
Теорема. Если ранг r матрицы системы однородных уравнений меньше числа неизвестных n, то эта система имеет фундаментальную систему решений, которая состоит из n – r линейно независимых решений исходной системы.
Общее решение однородной системы уравнений имеет вид:
(10)
где — произвольные числа.
Решение системы, полученное из общего при фиксированных значениях , называется частным.
Пример 4. 1) Считая матрицу С 4×5 матрицей однородной системы С·Х = 0, найти:
а) фундаментальную систему решений;
б) общее решение;
в) какое-нибудь частное решение.
Решение. Исходная система уравнений имеет вид:
Преобразования матрицы системы оформим в виде таблицы (табл.).
С | S | Примечания |
Умножим вторую строку на –1 | ||
Разрешающий элемент а 22=1. Разрешающую строку (вторую) оставляем без изменений. Все элементы разрешающего столбца (второго), кроме а 22, заменяем нулями. Остальные элементы преобразуем по формуле (7) | ||
Умножим первую строку на –1, а четвёртую строку на 1/2 | ||
Разрешающий элемент а 13=1. Разрешающую строку (первую) оставляем без изменений. Все элементы разрешающего столбца (третьего), кроме а 13, заменяем нулями. Остальные элементы преобразуем по формуле (7) |
Окончание таблицы
Преобразование закончено. Получены две строки из нулей, все остальные строки преобразованы |
а) Из табл. 4 следует, что ранг матрицы С равен r (C)=2, так как есть миноры второго порядка, отличные от нуля, например а любые миноры третьего и четвёртого порядков равны нулю.
Переменные системы х 2, х 3, соответствующие базисному минору матрицы А называются базисными переменными, остальные х 1, х 4, х 5 — свободными.
Система, равносильная исходной, имеет вид:
Оставляя слева базисные переменные х 2 и х 3, соответствующие линейно независимым столбцам матрицы А, и перенося в правую часть уравнений неизвестные х 1, х 4, х 5, получаем:
б) Полагая свободные переменные равными произвольным константам х 1= с 1, х 4= с 4, х 5 =с 5, получаем общее решение системы в виде:
Фундаментальную систему решений образуют три линейно независимых частных решения. Получим эти решения, задавая системе констант (с 1, с 4, с 5) линейно независимые значения, например, (1; 0; 0), (0; 1; 0),
(0; 0; 1). Вычисления занесем в таблицу (табл.).
х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 |
–10 | –8 | |||
Итак, фундаментальную систему составляют три линейно независимых решения:
Общее решение однородной системы, согласно (10), имеет вид:
где с 1, с 2, с 3 — произвольные константы.
в) Частное решение можно получить из общего решения, придавая определённые значения произвольным постоянным. Решения образующие фундаментальную систему решений, являются частными решениями этой однородной системы.
2) Считая матрицу С 4×5 расширенной матрицей неоднородной системы С * Х = С **, где С = (С *½ С **), решить эту систему, предварительно исследовав её на совместность по теореме Кронекера—Капелли.
Решение. Неоднородная система С * Х = С ** имеет вид:
Чтобы исследовать систему на совместность по теореме Кронекера—Капелли, нужно проверить равенство r (С *)= r (С *½ С **). Из табл. следует,
что r (С *) = r (С *½ С **)=2, значит система совместна.
Так как ранг матрицы меньше числа неизвестных n = 4, то система является неопределенной. Множество всех решений неоднородной системы получим, решив равносильную ей систему, полученную методом Жор-дана—Гаусса:
Базисные переменные х 2, х 3 выразим через свободные переменные х 1, х 4:
Полагая свободные переменные равными произвольным постоянным х 1= с 1, х 4= с 4, находим общее решение неоднородной системы в виде:
Элементы векторной алгебры в R 3
Трехмерное векторное пространство R 3 есть частный случай Rn при
n = 3. Декартов прямоугольный базис в R 3 образуют три единичных, взаимно перпендикулярных вектора
Совокупность начала координат (точки О) и декартова прямоугольного базиса называется декартовой прямоугольной системой координат Oxyz.
Согласно формуле (9) любой вектор в R 3 можно разложить единственным образом по т. е. представить в виде:
где ах — координата вектора по оси ОХ;
ау — координата вектора по оси ОY;
аz — координата вектора по оси ОZ.
Наряду с аналитическим заданием вектора как упорядоченной тройки чисел в R 3 рассматривают вектор как направленный отрезок, имеющий начало и конец. Конец вектора отмечается стрелкой.
А — начало вектора,
В — конец вектора.
Длина отрезка АВ называется модулем вектора и обозначается или .
Если известны координаты вектора то модуль вектора вычисляется по формуле:
(10)
Радиусом-вектором точки в декартовой прямоугольной системе координат называется вектор, начало которого расположено в начале координат, а конец в данной точке А, т. е. вектор
Координатами точки А называются координаты её радиуса-вектора. Если то координаты точки А.
Пусть вектор причём заданы координаты точек А и В: и Тогда координаты вектора равны разности одноимённых координат конца и начала:
(11)
Из (10) и (11) следует формула для расстояния между двумя точками А и В:
(12)
Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), обозначаемое , равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:
(13)
где j — угол между векторами и .
В декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
(14)
— координаты вектора ;
— координаты вектора .
Из (13) и (14) получается формула для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
(15)
Векторы и называются ортогональными (обозначаются если угол j между ними равен прямому, т. е. cosj = 0. Условие ортогональности векторов:
(16)
Упорядоченная тройка векторов называется правой, если
из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора
ко второму виден происходящим против часовой стрелки и называется левой, если такой поворот происходит по часовой стрелке.
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор такой что:
1) т. е. перпендикулярен плоскости векторов и
2) направлен так, что тройка — правая;
3) модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т. е.
(17)
Если то для векторного произведения справедлива формула:
(18)
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется число (обозначаемое ()), равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий:
Смешанное произведение векторов по абсолютной величине равно объему параллелепипеда , построенного на этих векторах как на сторонах, т. е.
(19)
Если то справедлива формула:
(20)
Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. Условие коллинеарности векторов и :
1) в векторной форме где l — скаляр;
2) в координатной форме (21)
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях. Условие компланарности трёх векторов :
1) в векторной форме: где l, m — числа;
2) в координатной форме: (22)
Пример 5. Даны координаты вершин треугольной пирамиды:
А 1 (–1, 0, 1), А 2 (2, 3, 1), А 3 (0, –2, 2), А 4 (1, –1, 5).
Требуется найти:
а) длины рёбер А 1 А 2 и А 1 А 3;
б) угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 3;
|
|
а) Используем формулы (11) и (12).
Определим координаты векторов:
Ребро
б) Угол между рёбрами А 1 А 2 и А 1 А 3 рассматриваем как угол между векторами и
По формуле (15) для косинуса угла между двумя векторами получим:
в) Грань А 1 А 2 А 3 есть треугольник, площадь которого равна половине площади параллелограмма А 1 А 2 А 6 А 3, построенного на векторах
и . По формуле (17):
Вычислим векторное произведение векторов и по формуле (18):
г) Объём треугольной пирамиды равен 1/6 объёма параллелепипеда , построенного на векторах , , как на сторонах. Из свойств смешанного произведения следует, что:
и следовательно,
Определим координаты вектора
По формуле (20) имеем
Элементы аналитической геометрии в R 3
Направляющим вектором прямой называется любой вектор , лежащий на этой прямой или ей параллельной и отличный от нуль-вектора, т. е. и
|
(23)
где (x, y, z) — координаты текущей точки прямой; (x 0, y 0, z 0) — координаты данной точки на прямой; (m, n, p) — координаты направляющего вектора прямой.
Если на прямой заданы две точки М 1(x 1, y 1, z 1) и М 2(x 2, y 2, z 2), то в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор :
Рассматривая в качестве данной точки точку М 1 и используя уравнение (23), получим уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
(24)
Пусть прямая l 1 имеет направляющий вектор и прямая l 2 — направляющий вектор .
Угол j между прямыми l 1 и l 2 определяется как угол между их направляющими векторами и , по формуле (15) получаем:
, если т. е. по условию коллинеарности (21)
Критерий перпендикулярности прямых <=> Тогда по условию ортогональности векторов (16)
Нормальным вектором плоскости (П) называется любой вектор , перпендикулярный к плоскости и отличный от нуль-вектора:
и
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М 0 плоскости и имеющей данный нормальный вектор , имеет вид:
(25)
где А, В, С — координаты нормального вектора ;
x 0, y 0, z 0 — координаты данной точки плоскости;
x, y, z — координаты текущей точки плоскости.
Если в уравнении (25) раскрыть скобки, то его можно записать в виде
(26)
Уравнение (26) называется общим уравнением плоскости.
Три точки М 1(x 1, y 1, z 1), М 2(x 2, y 2, z 2) и М 3(x 3, y 3, z 3) (не лежащие на одной прямой) определяют плоскость в R 3. Уравнение такой плоскости можно получить из условия компланарности (22) трёх векторов:
(27)
Здесь x, y, z — координаты текущей точки М;
x 1, y 1, z 1 — координаты данной точки М 1;
x 2, y 2, z 2 — координаты данной точки М 2;
x 3, y 3, z 3 — координаты данной точки М 3.
Пусть плоскость П задана общим уравнением
Расстояние от точки М 0(x 0, y 0, z 0)
до плоскости П вычисляется по формуле:
(28)
Угол между двумя плоскостями, нормальные векторы которых и , вычисляется по формуле:
(29)
Критерий параллельности плоскостей:
Критерий перпендикулярности плоскостей:
Пример 5. Даны координаты вершин треугольной пирамиды
А 1 (–1, 0, 1), А 2 (2, 3, 1), А 3 (0, –2, 2), А 4 (1, –1, 5). Продолжение задания 5 пункты д—з.
Требуется найти:
д) уравнения прямых А 1 А 2 и А 1 А 3;
е) уравнения плоскостей А 1 А 2 А 3 и А 1 А 2 А 4;
ж) угол между плоскостями А 1 А 2 А 3 и А 1 А 2 А 4;
з) высоту пирамиды.
Решение:
д) Для нахождения уравнений прямых А 1 А 2 и А 1 А 3 используем уравнение (24) прямой, проходящей через две точки А 1 (–1, 0, 1) и А 2 (2, 3, 1):
А 1 А 2: или
Замечание. Отношение понимаем в том смысле, что и числитель этого отношения равен 0 и значит z = 1 для каждой точки прямой. Это означает, что прямая А 1 А 2 параллельна плоскости ОХУ и удалена от этой плоскости на расстояние z = 1.
Уравнение прямой А 1 А 2 можно записать в виде:
или как линию пересечения двух плоскостей .
А 1 А 3: или
е) уравнения плоскостей А 1 А 2 А 3 и А 1 А 2 А 4 получим, используя уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А 1 (–1, 0, 1),
А 2 (2, 3, 1), А 3 (0, –2, 2) формула (23):
или
Раскладывая определитель по элементам первой строки, получим:
Делим все члены уравнения на 3 и раскрываем скобки:
Окончательно уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 имеет вид:
Аналогично составляем уравнение плоскости А 1 А 2 А 4.
А 1 (–1, 0, 1), А 2 (2, 3, 1), А 4 (1, –1, 5)
или
А 1 А 2 А 4:
ж) Чтобы определить угол между плоскостями А 1 А 2 А 3 и А 1 А 2 А 4 нужно найти их нормальные векторы. Уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 из предыдущей задачи имеет вид
Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты равные коэффициентам при х, у, z в уравнении плоскости,
т. е.
Из уравнения плоскости А 1 А 2 А 4: определим координаты нормального вектора этой плоскости
Используем формулу (29):
з) Высоту пирамиды (отрезок А 4 А 5 (рис. 1)) можно определить как расстояние точки А 4 (1, –1, 5) до плоскости А 1 А 2 А 3.
А 1 А 2 А 3:
Точка А 4 (1, –1, 5).
В уравнение плоскости вместо х, у, z подставим координаты А 4 и поделим .
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 678 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!