Геометрии реального мира

С ХIХ столетия математики знакомы с необычными геометрическими объектами типа ковра Серпинского или кривой Коха. В 70-х гг. ХХ в. Б. Мандельброт выделил и чётко сформулировал их основные характеристики: многоуровневую повторяемость геометрии целого в геометрии его частей (самоподобие, скейлинг) и дробную размерность – в отличие от целочисленной размерности элементов евклидовой геометрии (точки с размерностью 0, линии с размерностью 1, поверхности с размерностью 2, объёмной фигуры с размерностью 3). Эти объекты были названы фракталами (от лат. fractus – дробный,

Илл. 32. Данная серия иллюстраций показывает качественную разнотипность возможных решений простейшей нелинейной системы дифференциальных уравнений:

Эта система уравнений может однотипно описывать колебательные процессы са́мой разной конкретной природы: колебательные процессы в нелинейных механических системах и электрических цепях, колебания численности живых организмов в популяциях, волны деловой активности в экономике и др. Степень нелинейного воздействия результатов процесса на его дальнейшее развитие регулируется численными значениями коэффициентов σ, ρ и β.

32.1

Илл. 32.1 показывает поведение этой динамической системы при σ =2,7; ρ = 12,3 и β = 1,16. Здесь, как и в дальнейшем, используются синий и красный цвета фазовых траекторий и траекторий, соответствующих конкретным решениям. На картинке снизу здесь, как и в дальнейшем, в тех же условных цветах представлены сами соответствующие конкретные решения системы уравнений. Они представляют собой разнообразные колебательные процессы в проекции на координатную ось Х в трёхмерном физическом пространстве. Но это – не гармонические колебания, которым соответствуют строго периодические синусоиды. Чаще всего эти колебания не являются даже периодическими, так как чаще всего изменчива их фаза. Дальнейшее покажет, что с рассогласования синфазности колебаний начинаются расхождения сценариев развития процессов, которые стартовали при практически одинаковых начальных условиях. Начало линий в тех или иных точках фазовой плоскости соответствуют именно тем или иным начальным условиям (условиям однозначности) конкретных колебательных процессов, т. е. их старту при конкретных численных значениях x, y, z и t.

Обратимся теперь к илл. 43.1. В этом случае, стартуя с разных точек фазовой плоскости, синяя и красная траектории устремляются к одному аттрактору-точке. Синяя линия приходит к нему быстро, а красная приближается к нему по спирали подобно тому, как на илл. 1.1. Снизу данной картинки представлены кривые соответствующих колебательных процессов. Решению, представленному синим цветом, соответствует быстрое затухание колебаний. Решению, представленному красным цветом, соответствует медленное, но тоже неуклонное затухание колебаний, т. е. уменьшение их амплитуды.

32.2

Илл. 32.2 демонстрирует другой тип поведения этой же нелинейной динамической системы при σ =7,2; ρ = 21,8 и β = 2,3. Стартуя из близких точек на фазовой плоскости (т. е., при близких начальных условиях), решения выходят на один и тот же аттрактор типа предельного цикла. Картинки снизу показывают, что при этом решениями являются почти совпадающие автоколебания почти одинаковой амплитуды и без фазовых сдвигов относительно друг друга.

32.3

Илл. 43.3 при тех же значениях σ =7,2; ρ = 21,8 и β = 2,3 показывает, что

решения, стартующие из далёких друг от друга точек фазовой плоскости, устремляются каждое к своему аттрактору типа предельного цикла. Фактически у системы уравнений при этих значениях σ, ρ, и β два аттрактора типа предельного цикла, а два решения, стартуя из удалённых друг от друга точек фазовой плоскости, могут устремляться каждое к своему аттрактору. Но, стартуя из близких точек фазовой плоскости, оба решения устремляются только к одному из аттракторов. Об этом дополнительно свидетельствует илл. 32.4.

32.4

Всё это принципиально важно. В рассмотренных случаях у двух устойчивых аттракторов есть зоны конкуренции, но они узкие. На основной площади фазовой плоскости два аттрактора не конкурируют друг с другом. Поэтому на этой основной площади фазовой плоскости фазовые траектории, стартующие из близких друг от друга точек, не расходятся. В самих решениях фазовым траекториям соответствуют кривые устойчивых периодических колебательных процессов, количественные параметры которых (амплитуду и фазу) можно точно просчитать (количественно спрогнозировать) для любого будущего момента времени.

Положение в корне изменяется в другом диапазоне численных значений коэффициентов, в частности, при σ = 5,16; ρ = 22,1 и β = 1,94. Это наглядно видно на подсерии илл. 32.5, которая представляет собой последовательность стоп-кадров двух сценариев. Эти решения стартуют из столь близких точек на фазовой плоскости, что какое-то время синяя изображающая точка «забивает» красную, а синяя фазовая траектория сливается с красной, равно как и две кривые, изображающие сами решения системы уравнений. Но теперь конкуренция двух предельных циклов заполняет всю фазовую плоскость. В результате сами аттракторы становятся неустойчивыми предельными циклами. Фазовые траектории на какое-то время попадают в поле их притяжения, но долго в нём удержаться не могут. Они начинают по спирали удаляться из поля притяжения первого предельного цикла, пока на бифуркационной развилке не перескочат в поле притяжения второго предельного цикла, в котором ведут себя так же, и т. д. до бесконечности. На картинках снизу видно, что сами колебательные процессы при этом далеки от гармонических. У них всё время «гуляют» и амплитуды, и частоты, и фазы. Они регулярно (но непериодически и непредсказуемо) бифуркационно перескакивают на колебания относительно разных средних линий. На фазовой плоскости последнее соответствует бифуркационным перескакиваниям изображающих точек из зоны притяжения одного предельного цикла в зону притяжения другого и обратно.

32.5.1

На илл. 32.5.2 запечатлён момент начала расхождения двух фазовых траекторий, стартовавших практически из одной точки. Картинка снизу показывает, что при этом для начала красная кривая колебательного процесса сдвигается по фазе относительно своего «близнеца» – синей кривой. Дальше – больше!

32.5.2

Илл. 32.3.3 запечатлела момент, когда две изображающие точки у очередной бифуркационной развилки решительно разошлись к разным аттракторам. Нижняя картинка показывает, что к этому моменту уже сформировались совершенно независимые друг от друга кривые беспорядочных колебаний со своими неповторимыми и точно непредсказуемыми конфигурациями:

32.5.3

Стоп-кадр 32.5.4 показывает, сколь далеко ушли друг от друга две поначалу неразличимые фазовые траектории по истечении большого промежутка времени. Это уже – два самостоятельных сценария «с богатым прошлым», которое невозможно теоретически точно отследить (т. е. численно просчитать), и с теоретически непредсказуемым будущим. В обоих случаях вместо точного расчёта амплитуд, частот и фаз в конкретные будущие моменты времени остаётся лишь строить вероятностные прогнозы, хотя динамическая система простейшая и жёстко (однозначно) детерминированная.

32.5.4

Илл. 32.6. Современные компьютерные технологии позволяют одновременно проследить за несколькими сотнями сценариев поведения неустойчивых динамических систем, которые стартуют практически из одной точки на фазовом портрете, т. е. практически при одних и тех же условиях однозначности (начальных условиях). При этом суть разбегания фазовых траекторий представляется весьма наглядно. На данной серии иллюстраций мы покажем это на примере случая, рассмотренного на илл. 32.5. Последовательность картинок 1 – 6 по-прежнему представляет стоп-кадры эволюции одной и той же неустойчивой динамической системы во времени, только теперь на экран видеомонитора выводятся не фазовые траектории, но только изображающие точки в определённые моменты времени.

Картинка 1 показывает, что в начальных стадиях эволюции неустойчивой динамической системы фазовые траектории нескольких сотен возможных сценариев совпадают. Картинки 2 – 3 представляет спектр изображающих точек по истечении бо́ль-шего времени. Единая изображающая точка начинает распадаться на элементарные изображающие точки, соответствующие многообразию конкретных решений системы дифференциальных уравнений. Сначала большинство элементарных изображающих точек сливается в наиболее вероятные траектории, но от них уже начинают отпадать отдельные элементарные изображающие точки. (Эти сплошные линии – дань тому, что разрешающая способность видеомонитора ограничена и не позволяет разрешать теснейшие группы точек на отдельные точки.) Картинки 4 и 5 представляют процесс на более поздних стадиях развития. При этом происходит дальнейший распад тесных групп изображающих точек, сливающихся в сплошные линии. Картинка 6 показывает, что по истечении большого промежутка времени изначально единая изображающая точка окончательно «взрывается фейерверком» элементарных изображающих точек. Они хаотически разбросаны по всему полю притяжения неустойчивых предельных циклов, которое в первом приближении очерчено чёрными точечными линиями. Начиная процесс интегрирования системы уравнений (картинка 1), нельзя точно предсказать, где на фазовой плоскости окажется его решение в момент, соответствующий картинке 6. Здесь можно строить только вероятностные прогнозы, непосредственно связанные с фрактальной геометрией зоны конкуренции двух неустойчивых предельных циклов.

Аттракторы динамически устойчивых процессов представляют собой гладкие кривые предельных циклов и их аналогов, если фазовое пространство не плоское, а многомерное (геометрические фигуры типа тора). Могут они быть и точечными. Но что́ считать аттрактором в рассмотренном случае? Два неустойчивых предельных цикла ими явно не являются, потому что аттрактор «по определению» упорядочивает динамический процесс в том или ином устойчивом состоянии. На этом фоне аттракторы неустойчивых динамических систем до такой степени необычны, что их в 60-х гг. ХХ в. назвали странными, и это название прижилось. Тонкий топологический анализ структуры странных аттракторов выявил их фрактальность. Зоны притяжения конкурирующих неустойчивых предельных циклов в них самоподобным образом вложены друг в друга по типу илл. 18. Поэтому конкретные изображающие точки, соответствующие конкретным решениям дифференциальных уравнений, постоянно испытывают большее или меньшее влияние обоих неустойчивых аттракторов, регулярно (хотя точно и непредсказуемо) перескакивают из зоны пересиливающего влияния одного в зону пересиливающего влияния другого и обратно. Призвав на помощь удачный образ из области политологии, можно сказать, что неустойчивый предельный цикл имеет в зоне пересиливающего влияния конкурента своё «лобби», которое раньше или позднее перетянет к нему изображающую точку. Но не надолго: в зоне его пересиливающего влияния «интересы» другого неустойчивого предельного цикла также всеобъемлющим образом «лоббируются». Иначе говоря, в странных аттракторах имеет место всеобъемлющее фрактальное взаимопроникновение влияний конкурирующих неустойчивых предельных циклов, своего рода хроническое «двоевластие».

32.6

изрезанный). Стало ясно, что в обычном природном земном мире фракталы окружают человека со всех сторон (деревья и древовидные структуры бассейнов рек, кровеносных сосудов, нервных сетей, самоподобие мощных кучевых облаков и т. п.). Самоподобными оказались также фазовые портреты динамических систем с хаотическим поведением. Синергетика прочно связала фрактальность с элементами хаоса, отклонений строения (морфологии) предметов материального мира от идеального геометрического порядка.

На этом фоне особое мировоззренческое значение приобретают современные успехи фрактальной компьютерной графики. Разработаны многочисленные алгоритмы фрактального построения таких геометрических объектов, которые в принципе невозможно построить, отправляясь от базовых элементов и алгоритмов геометрии Евклида. На основе алгоритмов самоподобного роста компьютеры легко строят феноменально реалистичные изображения растений, облаков, морозных узоров на стекле и других сложных объектов. Но для этого на каждом шаге таких построений требуется вводить мо- мент случайных колебаний геометрических параметров около средних значений. Так, если фигура строится методом самоподобных вписываний треугольников, то каждый раз необходимо вписывать более мелкие треугольники со случайными отклонениями их вершин от средних точек на сторонах треугольников, в которые они вписываются. Именно эта игра случайностей в самоподобномфрактальном росте творит всё многообразие сложных геометрических форм. Здесь отчётливо видно, что случайность при этом выступает не только в роли объективного фактора, но и в роли формообразующего фактора по отношению к бесконечному раз-нообразию геометрических форм окружающего нас мира. При этом в результате таких построений невозможно получить ни одной точной копии однотипных объектов. Но то же самое имеет место и в окружа- ющей нас природе, где нет точных копий ни у одного растения одного вида, облака, морозного узора на стекле и т. п. Таким образом, в этом реализме фрактальной графики синергетика сделала гигантский качественный скачок от идеализированного мира геометрических объектов классической науки к адекватному отражению геометрии реального мира во всём многообразии его форм.

Концепция формообразующей случайности, наглядно демонcт-рируемая фрактальной компьютерной графикой, также играет важ-ную роль в синтетическом сближении теории диссипативных структур и теории динамического хаоса.