По оптимизации

Тема: «Экономико-математические методы анализа хозяйственной деятельности».

1. Стохастическое моделирование и анализ факторных систем.
2. Метод корреляционно-регрессионного анализа.
3. Матричный метод.
4. Применение теории игр.
5. Применение теории массового обслуживания.
6. Методы линейного и динамического программирования.

1) Математические методы экономического анализа используются при изучении стохастических систем, в которых связь между изучаемыми факторами и результативным показателем носит стохастический вероятностный характер. Стохастические связи между различными явлениями и их признаками характеризуются тем, что результативный признак, т.е. зависимая переменная, испытывает влияние не только анализируемых, но и ряда не контролируемых факторов. При этом полный перечень факторов и точный механизм их влияния на зависимую переменную не известен. Поэтому значение этой переменной невозможно точно измерить. Они определяются с некоторой вероятностью. Например: увеличение фондовооруженности труда дает разный прирост производительности труда на разных предприятиях, даже при очень выровненных прочих условиях. Это объясняется тем, что все факторы, от которых зависит производительность труда, действуют в комплексе взаимосвязано. В зависимости от того, насколько оптимально сочетаются разные факторы будет неодинаковой степень воздействия каждого из них на величину результативного показателя. Особенность стохастических связей состоит в том, что такие связи проявляются во всей совокупности, а не в каждой её единице. Проявление стохастических связей подвержено действию чисел, суть которых заключается в том, что лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случайные взаимопогасятся и зависимость, если она имеет существенную силу, проявится достаточно отчетливо. В основе построения стохастических моделей лежит обобщение закономерностей варьирования значений, изучаемых экономических показателей. Предпосылками стохастического моделирования являются:

-Возможность составить совокупность наблюдений, т.е. возможность повторно измерить параметры одного и того же явления в разных условиях.

-Качественная однородность совокупности (относительно изучаемых связей).

-Достаточная размерность (численность) совокупности наблюдений, позволяющая с достаточной надежностью и точностью выявить изучаемые закономерности, т.е. моделируемые связи.

-Наличие методов, позволяющих выявить количественные параметры экономических показателей из массовых данных варьирования уровня показателей.

Математический аппарат применяемых методов иногда предъявляет специфические требования к моделируемому эмпирическому материалу. Выполнение данных требований является важной предпосылкой применяемости метода и достоверности полученных результатов. Основная особенность стохастического факторного анализа заключается в том, что при стохастическом анализе нельзя составить модель путем качественного (теоретического) анализа. Необходим количественный анализ эмпирических данных.

К числу задач анализа хозяйственной деятельности, для решения которых применяются методы стохастического моделирования, относятся:

-изучение наличия, направления и интенсивности связей показателей хозяйственной деятельности.

-ранжирование и классификация факторов экономических явлений.

-выявление аналитической формы связей между показателями.

-ранжирование и классификация объектов хозяйствования

-выявление наиболее информативных, т.е. обобщающих, показателей хозяйственной деятельности.

-анализ структурных сдвигов в совокупности объектов анализа

-нахождение общих закономерностей функционирования объекта

-построение усредненных нормативов хозяйственной деятельности.

Для решения перечисленных задач применяются математико-статистические методы стохастического моделирования.

2) Корреляционный анализ позволяет решить следующие задачи: измерить тесноту известной связи между варьирующими показателями и установить относительную степень зависимости результативного показателя от каждого фактора. Регрессионный анализ является методом установления аналитического выражения стохастической зависимости между исследуемыми показателями. Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется результативный (зависимый) показатель при изменении любого из независимых факторов.

В ходе регрессионного анализа решаются две задачи: построение уравнения регрессии, которое и является факторной моделью и оценка значимости полученного уравнения, т.е. определение того, насколько выбранные факторные признаки объясняют вариацию результативного показателя. Корреляционный анализ изучает любую взаимосвязь показателей, а регрессионный изучает причинно-следственную зависимость. В зависимости от направления действия связей и в детерминированном и в стохастическом анализе могут быть прямыми и обратными. При прямой связи имеет место однонаправленное изменение фактора и результативного показателя, т.е. при росте фактора результативный показатель растет, а при снижении фактора снижается.

При обратной связи изменение фактора и результативного показателя являются разнонаправленными, т.е. при росте фактора результативный показатель снижается, а при снижении фактора растет.

В зависимости от количества факторов, влияющих на результативный показатель, различают однофакторные и многофакторные взаимосвязи. Взаимосвязь между одним фактором и результативным показателем устанавливает парная корреляция, а взаимодействие нескольких факторов с результативным показателем – множественная корреляция. В зависимости от формы связи различают прямолинейную (линейную) и криволинейную связи.

Линейная связь описывается уравнением прямой и характеризует непрерывное пропорциональное изменение результативного показателя, в зависимости от изменения фактора, причем эта связь может быть как прямой, так и обратной. При криволинейных связях результативные показатели могут неравномерно, непропорционально меняться либо в том же направлении что и факторы, либо в другом. При изучении связей экономических показателей достаточно часто используют уравнения однофакторной (парной) линейной корреляционной связи, которая имеет вид:

Y=a+bx, где

Y – результативный показатель

a и b – параметры (коэффициенты) уравнения регрессии, которые необходимо определить

x – фактор

Данное уравнение регрессии лишь приблизительно характеризует взаимосвязь между факторным и результативным признаком. Уравнение необходимо решить, т.е. найти его корни или параметры а и b. С этой целью используют способ наименьших квадратов, который дает систему нормальных уравнений. Для уравнения прямой записывают два нормальных уравнения:

Y=a+bx => {na+b∑x=∑y, ∑xa+b∑x2=∑xy

Определив параметры этого уравнения а и b, подставляем их в уравнение прямой и находим значение у(х), т.е. теоретически выровненное значение результативного признака при предположении наличия данной формы связи. В уравнении прямой параметр b называется коэффициентом парной линейной регрессии (показывает угол наклона). Он показывает скорость изменения результата при изменении фактора х на 1. Например: на сколько увеличится товарооборот, если численность возрастет на одного человека. Параметр b может быть использован в качестве планового норматива. Знак при параметре b указывает направление этого изменения.

Параметр а показывает начало отсчета. Для проверки точности расчетов следует помнить, что сумма теоретического значения всегда должна быть равна сумме у.

Степень тесноты связи, т.е. степень адекватности полученной факторной модели, рассчитывается при помощи коэффициента корреляции. При линейной зависимости коэффициент корреляции определяется по формуле:

r=ẋẏ-ẋ*ẏ/√(ẋ2-(ẋ)2)*(ẏ2-(ẏ)2)

Линейный коэффициент корреляции принимает значение (-1;+1). Теснота связи оценивается по таблице Чеддока. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь, т.е. тем более значимым является исследуемый фактор для результативного показателя. При r=0 связь отсутствует. Рассчитав линейный коэффициент корреляции можно по этим данным найти параметр b уравнения прямой.

b= ẋẏ-ẋ*ẏ/(ẋ2-(ẋ)2