Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Def. Пусть линейный оператор. Вектор называется собственным вектором линейного оператора если Число при этом называется собственным значением линейного оператора
Th. 8.3 | В любом комплексном пространстве всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор. |
Доказательство.
Пусть базис матрица линейного оператора Пусть вектор-столбец координат вектора Вектор будет собственным вектором тогда и только тогда, когда
Отсюда
или
(8.3)
Система линейных уравнений (8.3) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель равен нулю, т.е. когда
(8.4)
Уравнение (8.4) – уравнение й степени, а значит имеет по крайней мере один корень Подставив в систему (8.3) получим ее решение собственный вектор линейного оператора .
Def. Многочлен называется характеристическим многочленом линейного оператора а уравнение
(8.5)
– характеристическим уравнением линейного оператора
Th. 8.4 | Характеристический многочлен (а, значит, и собственные значения) линейного оператора не зависит от выбора базиса |
Доказательство.
Пусть матрица линейного оператора в базисе а матрица линейного оператора в базисе Согласно теореме 7.2
.
Def. Множество всех собственных значений называется спектром линейного оператора Обозначается
Th. 8.5 | Пусть дано линейное пространство и линейный оператор, который имеет линейно независимых векторов. Если выбрать их в качестве базиса, то матрица оператора будет иметь диагональный вид. И наоборот, если в некоторм базисе матрица линейного оператора имеет диагональный вид, то все векторы этого базиса собственные. |
Доказательство.
Пусть линейно независимые собственные векторы, тогда Тогда матрица оператора в этом базисе имеет вид:
Обратное утверждение очевидно.
Th. 8.6 | Если собственные векторы линейного оператора и соответствующие им собственные значения попарно различны, то линейно независимы. |
Доказательство.
Применим метод математической индукции.
1) При утверждение очевидно.
2) Пусть утверждение верно для вектора. Докажем его справедливость для векторов. Пусть линейно зависимы, т.е.
(8.6)
Пусть для определенности Применим к обеим частям равенства (8.6) оператор
(8.7)
Домножим обе части равенства (8.6) на :
(8.8)
Вычтем из равенства (8.8) равенство (8.7), получим:
(8.9)
Т.к. то из равенства (8.9) следует линейная зависимость векторов что противоречит нашему предположению. Значит, утверждение теоремы справедливо .
Следствие.
Если характеристический многочлен линейного оператора имеет различных корней, то матрица этого оператора может быть приведена к диагональному виду, т.е. оператордиагонализируем.
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 279 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!