Линейные отображения, примеры. Простейшие свойства линейных отображений. Задание линейного отображения с помощью отображения базиса

Определение 1. Пусть V и V ₁– векторные пространства над полем Р. Отображение называется линейным отображением V в V ₁ или гомоморфизмом, если выполняются следующие условия:

1) - условие аддитивности;

2) - условие однородности.

Примеры линейных отображений

Пример 1. Пусть - отображение, заданное по правилу: , где - нулевой элемент векторного пространства V ₁. Тогда

1) ;

2) .

Из 1) и 2) следует, что - линейное отображение V в V ₁, которое называется нулевым линейным отображением или нулевым гомоморфизмом.

Пример 2. Пусть - отображение, заданное по правилу: . Тогда

1) ;

2) .

Из 1) и 2) следует, что - линейное отображение V, которое называется тождественным линейным отображением или тождественным линейным оператором V.

Теорема 1. Пусть V и V ₁ – векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V ₁. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) где и - нулевые элементы векторного пространства V ивекторного пространства V₁ соответственно;

2) ;

3) ;

4) если – линейно зависимая система векторов из V, то и система векторов линейно зависима, при этом сохраняются все линейные соотношения между векторами, то есть если , то .

Доказательство.

1) Рассмотрим вектор : (1).

Так как V ₁ – аддитивная группа, то из (1) по закону сокращения получим .

2) Рассмотрим вектор : . Таким образом, (2). Прибавим к обеим частям равенства (2) вектор : . Получаем .

3) -4) – без доказательства.

Напомним, что отображение f: X→Y считается заданным, если указано правило, по которому можно найти f(x), линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство U будет задано, если будет определено правило, по которому можно найти . Если в качестве V рассматривать конечномерное векторное пространство, то можно доказать, что для того, чтобы определить линейное отображение V в U, достаточно указать лишь образы базисных векторов.

Теорема 2. Пусть V_n – n- мерное векторное пространство над полем P, U - векторное пространство над полем P, (1) – базис пространства V_n, - линейное отображение V_n в U. Тогда однозначно определяетсязаданием образов базисных векторов (2).

Из теоремы 2 следует, что линейное отображение V_n в U определяется образами базисных векторов Так как , то возникает вопрос, какие векторы из U можно взять в качестве векторов . Ответ на данный вопрос дает теорема 3.

Теорема 3. Пусть V_n – n-мерное векторное пространство над полем P, U - векторное пространство над полем P, (1) – базис V_n. Тогда любые n векторов из U можно взять в качестве образов базисных векторов принекотором линейном отображении, т.е. существуетединственное линейное отображение такое, что .