Аналитическое выравнивание ряда динамики

Использование методов этой группы позволяет преодолеть недостатки приемов механического сглаживания. Они дают возможность учитывать все уровни динамического ряда, моделировать динамические процессы, строить прогноз и интерполировать отдельные значения анализируемого показателя.

Основополагающей в теории аналитического выравнивания является идея о возможности геометрического представления зависимости уровней динамического ряда от фактора времени (t). Всегда можно найти плавную линию (прямую или кривую), которая бы проходила через центр распределения и минимизировала сумму квадратов отклонений от нее до каждой точки, представляющей отдельные фактические значения у. Чем лучше теоретическая кривая описывает распределение значений анализируемого показателя в динамике и меньше сумма квадратов отклонений (ошибка функции тренда), тем, следовательно, лучше сделан выбор теоретической функции и надежнее статистические выводы о закономерностях в динамике для у (рисунок 8.1).

t (годы)

Объём реализации

y=f(t)

yt

Рисунок 8.1 – Динамика объемов реализации продукции предприятия

Составляется модель зависимости значений показателя от фактора времени t. Эта модель называется уравнением тренда.

Параметры модели для ŷ_t находят с использованием метода наименьших квадратов, т.е. при условии, что сумма квадратов ошибки модели минимальна, близка к нулю:

Рассмотрим аналитическое выравнивание по прямой. Уравнение прямой имеет вид

y_t=a₀+a₁t,

где t – время,

a_0, a₁ – параметры.

Величина a₀ характеризует среднее значение признака в динамическом ряду, _, a₁ – ежегодный прирост значений признака, обусловленный фактором времени.

Если а₁>0, – имеется тенденция к росту, если а₁<0, имеется тенденция к снижению.

Параметры a₀ и a₁ можно найти из следующей системы уравнений:

Поскольку t – время, можем перейти к условным годам, выбрав начало отсчета таким образом, чтобы сумма времени ∑t была равна 0.

При этом индексация временных периодов производится по следующему правилу:

– если во временном ряду четное число лет, то обозначения t принимаются с разницей в одну единицу (таблица 8.3):

Таблица 8.3 – Выбор t -значений при четном числе лет во временном ряду

Год
Обозначение года (t)	-7	-5	-3	-1

– если в анализируемом периоде число лет нечетно, то в центре динамического ряда ставится ноль, а вправо и влево от него годы нумеруются по порядку (таблица 8.4):

Таблица8.4 – Выбор t -значений при нечетном числе лет во временном ряду