Анализ устойчивости с помощью алгебраических критериев

Устойчивость системы связана с характером ее собственных колебаний. Чтобы пояснить это, предположим, что система описывается дифференциальным уравнением

или, после преобразования Лапласа,

,

где g(p) – входное воздействие.

Устойчивая система возвращается в состояние покоя, если входное воздействие g(p) 0. Таким образом, для устойчивой системы решение однородного дифференциального уравнения должно стремиться к нулю при t стремящемся к бесконечности.

Если найдены корни p1, p2,..., pn характеристического уравнения , то решение однородного уравнения запишется в виде .

В каких же случаях система устойчива?

Предположим, что pk = ak – действительный корень.

Ему соответствует слагаемое ck . При ak < 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t стремится к бесконечности. Если же ak > 0, то x(t) , когда t стремится к бесконечности;. Наконец, в том случае, когда ak = 0, рассматриваемое слагаемое не изменяется и при t стремящемся к бесконечности,

Допустим теперь, что – комплексный корень характеристического уравнения. Заметим, что в этом случае также будет корнем характеристического уравнения. Двум комплексно-сопряженным корням будут соответствовать слагаемые вида , .

При этом, если ak < 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak > 0 – колебания возрастающей амплитуды, а при ak = 0 -колебания постоянной амплитуды сk.

Таким образом, система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. Если хотя бы один корень имеет действительную часть ak ³ 0, то система неустойчива. Говорят, что система находится на границе устойчивости, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет нулевую действительную часть, а действительные части всех остальных корней отрицательны.

Это определение хорошо иллюстрируется геометрически. Представим корни характеристического уравнения точками на комплексной плоскости (рис. 15).

Если все корни лежат в левой полуплоскости комплексного переменного, то система устойчива. Если хотя бы один корень лежит в правой полуплоскости комплексного переменного - система неустойчива. Если же корни находятся на мнимой оси и в левой полуплоскости, то говорят, что система находится на границе устойчивости.