Напряжение на индуктивности в комплексной форме

1. Газет, журнал, интернеттен материал іздеу.

4. Орысша – қазақша сөздіктер, қазақша – орысша сөздіктер

Тесті сұрақтары:

1. Қазақстан Республикасының рәміздері... жылы қабылданды.

А) 1986

В) 1991

С) 1993

Д) 1992

2. Мемлекетіміздің алғашқы Әнұранының сөзін жазғандардың бірі –

А) Фариза Оңғарсынова

В) Жадыра Дәрібаева

С) Күләш Ахметова

Д) Мұхтар Шаханов

3. Көзіңді аш, оян, қазақ, көтер басты,

Өткізбей қараңғыда бекер жасты. Өлең жолдарының авторы –

А) Мағжан Жұмабаев

В) Міржақып Дулатов

С) Мұхтар Әуезов

Д) Әкім Тарази

Напряжение на индуктивности в комплексной форме.

Так как напряжение на катушке:

,

то .

Единица измерения физической величины в левой части вольт, в правой – ампер, следовательно величина имеет единицы сопротивления – Ом. Поэтому, j = jw L называется комплексным сопротивлением катушки индуктивности.

Здесь - индуктивное сопротивление в комплексной форме.

Оператор отражает дифференцирование напряжения на индуктивности.

Векторы тока и напряжения на комплексной плоскости приведены на рис. 3.14.

Напряжение на реальной катушке индуктивности, имеющей активное сопротивление R, имеет следующий вид:

Анализ этого выражения показывает, что ЭДС самоиндукции оказывает препятствие (сопротивление) протеканию переменного тока, из-за чего ток в реальной индуктивной катушке отстает по фазе от напряжения на некоторый угол φ (0^o < φ < 90^o), величина которого зависит от соотношения R и L.

Это выражение в комплексной форме записи имеет вид:

(*)

где - полное комплексное сопротивление индуктивной катушки, z_L - модуль комплексного сопротивления, - начальная фаза комплексного сопротивления, - индуктивное сопротивление (фиктивная величина, характеризующая реакцию электрической цепи на переменное магнитное поле).

Полное сопротивление индуктивной катушки или модуль комплексного сопротивления

.

Комплексному уравнению (*) соответствует векторная диаграмма (рис. 3.15).

Рис. 3.15

Из анализа диаграммы видно, что вектор напряжения на индуктивности опережает вектор тока на 90^o. В цепи переменного тока напряжения на участках цепи складываются не арифметически, а геометрически. Если мы по делим стороны треугольника напряжений на величину тока I_m, то перейдем к подобному треугольнику сопротивлений (рис. 3.16).

Из треугольника сопротивлений получим несколько формул:

3.7. Прохождение гармонического тока через конденсатор

Рассмотрим линейный конденсатор емкостью С (рис. 3.17), через который протекает ток i(t)=I_msin(w t+y_i). Определим напряжение на конденсаторе. Связь между мгновенными значениями тока в конденсаторе и напряжения на нем определяется соотношением (2.4.6). Тогда

Дополнительный угол возник при переходе от косинусоидальной функции к синусоидальной. Напряжение на конденсаторе будем определять в виде u(t)=U_msin(w t+y _u). Тогда

.

Перейдем к комплексным мгновенным значениям

или

Сокращая на оператор поворота e^jwt и учитывая, что

, получим (*)

Легко видеть, что величина имеет размерность сопротивления – Ом.. Она называется комплексным сопротивлением конденсатора

Выражение (*) – закон Ома для конденсатора в комплексной форме – можно записать в обобщенном виде или

Из соотношения следует, что вектор напряжения на конденсаторе отстает от вектора тока в нем на (так как ). Векторная диаграмма тока и напряжения на конденсаторе показана на
рис. 3.18. На рис. 3.19 показаны зависимости от времени тока, напряжения и мгновенной мощности (при y _i=0)

.

Рис. 3.18

Рис. 3.19

Рис. 3.20

Сравнение графиков мгновенной мощности для резистора, катушки индуктивности и конденсатора показывает:

· в резисторе мгновенная мощность всегда положительна, т.е. линейный резистор мощность потребляет;

· в конденсаторе (рис. 3.19) и в катушке мгновенная мощность может быть положительной (реактивный элемент запасает энергию) и отрицательной (реактивный элемент отдает энергию во внешнюю цепь).

Рассмотрим комплексное сопротивление конденсатора Величина называется емкостным сопротивлением конденсатора. Зависимости емкостного сопротивления от частоты w для двух значений емкости показаны на рис. 3.20. Емкостное сопротивление конденсатора на постоянном токе () равно бесконечности и уменьшается до нуля с ростом частоты до бесконечности.

В табл. 3.2 приведена сводка основных соотношений, описывающих прохождение гармонического тока, через основные элементы цепи.

3.8. Закон Кирхгофа в комплексной форме.

1-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Например, для некоторого узла

i₁+i₂+i₃=0, (*)

где i₁, i₂, i₃ – токи в ветвях. Пусть каждый ток изменяется по синусоидальному закону:

i₁=I_m1sin(ωt+ψ₁); i₂=I_m2sin(ωt+ ψ₂); i₃=I_m3sin(ω+ ψ₃). (**)

Подставляя (**) в (*) и переходя к комплексным мгновенным значениям, получим + + =0

Таблица 3.2

Соотношение	Резистор	Катушка индуктивности	Конденсатор
Комплексное сопротивление
Реактивное сопротивление	–
Закон Ома
Векторная диаграмма

Сокращая это уравнение на оператор поворота и учитывая что амплитуды отдельных токов равны , , получим запись 1) для комплексных амплитуд

В общем случае, 1-й закон Кирхгофа для узла с n ветвями в комплексной форме имеет вид

.

В этом выражении токи, направленные к узлу, следует записать со знаком “плюс”, а направленные от узла – со знаком “минус” (или наоборот), а направление тока в ветви определяется произвольно.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме можно получить аналогично, записав все источники в ветвях в виде синусоидальных функций, напряжения на резисторах, на катушках индуктивности и на конденсаторах. Перейдя к комплексным мгновенным значениям и сократив уравнение на e^jwt, получим

,

где – алгебраическая сумма комплексных ЭДС источников напряжения. Со знаком плюс записываются те из них, положительные направления которых совпадают с выбранным направлением обхода контура; ЭДС, имеющие направления, противоположные обходу контура, записываются со знаком минус;

– падение напряжений на комплексных сопротивлениях Z _m отдельных участков. Со знаком “плюс” берутся те, для которых направление тока совпадает с направлением обхода, а со знаком “минус” – те, для которых направление тока противоположно направлению обхода контура.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.

3.9. Прохождение гармонического тока черезрезистор,
катушку индуктивности и конденсатор, соединенные последовательно.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис. 3.21). В цепи проходит ток i(t)=I_msin(w t+y _i), требуется найти напряжение u(t). В соответствии со 2-м законом Кирхгофа для любого момента времени

u(t)=u_R(t)+u_L(t)+u_C(t),
где u_R(t), u_L(t), u_C(t) – напряжения на соответствующих элементах. С учетом того, что u_R(t)=Ri(t), , получим

.

При изменении тока по гармоническому закону

Из полученного выражения видно:

· напряжение в активном сопротивлении совпадает по фазе с током;

· напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90^o;

· напряжение по емкости отстает по фазе от тока на 90^o.

Найдем напряжение u(t) в виде u(t)=U_msin(w t+y _u). Переходя к комплексным мгновенным значениям получим

.

Сокращая обе части уравнения на оператор поворота e^{jw t} и учитывая, что , получим

.

С учетом того, что , окончательное выражение примет вид

или .

Выражение в скобках – комплексное сопротивление последовательного соединения резистора, катушки индуктивности, конденсатора

.

При построении векторных диаграмм цепи рассмотрим три случая.

1. X_L > X_C, цепь носит индуктивный характер. Векторы напряжений на индуктивности и емкости направлены в противоположные стороны, частично компенсируют друг друга. Вектор напряжения на входе схемы опережает вектор тока (рис.3.22).

2. X_L < X_C. Индуктивное сопротивление меньше емкостного. Вектор напряжения на входе схемы отстает от вектора тока. Цепь носит емкостный характер (рис.3.23).

3. X_L = X_C. Индуктивное и емкостное сопротивления одинаковы. Напряжения на индуктивности и емкости полностью компенсируют друг друга. Ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением. В электрической цепи наступает режим резонансного напряжения (рис.3.24).

Рис. 3.22 Рис. 3.23 Рис. 3.24

Ток в резонансном режиме достигает максимума, так как полное сопротивление (z) цепи имеет минимальное значение.

Условие возникновения резонанса: , отсюда резонансная частота равна

.

Из формулы следует, что режима резонанса можно добиться следующими способами:

изменением частоты;

изменением индуктивности;

изменением емкости.

В резонансном режиме входное напряжение равно падению напряжения в активном сопротивлении. На индуктивности и емкости схемы могут возникнуть напряжения, во много раз превышающие напряжение на входе цепи. Это объясняется тем, что каждое напряжение равно произведению тока I₀ (а он наибольший), на соответствующее индуктивное или емкостное сопротивление (а они могут быть большими).

.

Закон Ома в комплексной форме для цепи вида рис. 3.21 записывается для амплитудных значений или для действующих значений .

Комплексное сопротивление цепи равно Z =R+jX, где R – резистивное сопротивление цепи; – реактивное сопротивление цепи.

Ппри последовательном соединении участков цепи комплексное сопротивление Z _ЭК равно сумме комплексных сопротивлений отдельных участков Z _k.

.

3.10. Параллельное соединение резистора, катушки индуктивности, конденсатора в цепи гармонического напряжения

Рассмотрим схему, представленную на рис..25. Все ее элементы соединены параллельно и находятся под одним и тем же напряжением u(t)=U_msin(w t+y _u). Необходимо определить ток в цепи i(t). На основании 1-го закона Кирхгофа в любой момент времени справедливо соотношение

i(t)=i_R(t)+i_L(t)+i_C(t)

или

Подставив вместо u(t) гармоническую функцию времени и проведя необходимые математические операции, получим

Из уравнения видно, что ток в ветви с индуктивностью отстает по фазе от напряжения на 90^o, ток в ветви с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением, ток в ветви с емкостью опережает по фазе напряжение на 90^o.

Будем определять искомый ток в виде i(t)=I_m=I_msin(ωt+ψ_i).
Перейдем к комплексным мгновенным значениям

Сокращая на e^{jw t} и учтя, что , получим

или

Выражение в скобках – комплексная проводимость цепи – резистивная составляющая проводимости, – реактивная составляющая проводимости.

Построим векторные диаграммы, соответствующие комплексному уравнению.

Рис. 3.26 Рис. 3.27 Рис. 3.28

В схеме на рис. 3.25 может возникнуть режим резонанса токов. Резонанс токов возникает тогда, когда индуктивная и емкостная проводимости одинаковы. При этом индуктивный и емкостный токи, направленные в противоположные стороны, полностью компенсируют друг друга. Ток в неразветвленной части схемы совпадает по фазе с напряжением.

Из условия возникновения резонанса тока получим формулу для резонансной частоты тока

В режиме резонанса тока полная проводимость цепи - минимальна, а полное сопротивление z = 1/ y - максимально. Ток в неразветвленной части схемы I=U/z в резонансном режиме имеет минимальное значение. В идеализированном случае R = 0, и z = 1/ y.

Ток в неразветвленной части цепи I = 0. Такая схема называется фильтр - пробкой.

Закон Ома в комплексной форме для амплитудных значений или для действующих значений .

Таким образом при параллельном соединении ветвей цепи комплексная эквивалентная проводимость равна сумме комплексных проводимостей ветвей:

3.10. Мощность в цепи синусоидального тока

Мгновенной мощностью называют произведение мгновенного напряжения на входе цепи на мгновенный ток.

Пусть мгновенные напряжение и ток определяются по формулам:

Тогда

Среднее значение мгновенной мощности за период

Из треугольника сопротивлений (hbc/ 3/29) а .

Получим еще одну формулу:

.

Среднее арифметическое значение мощности за период называют активной мощностью и обозначают буквой P. Эта мощность измеряется в ваттах и характеризует необратимое преобразование электрической энергии в другой вид энергии, например, в тепловую, световую и механическую энергию.

Возьмем реактивный элемент (индуктивность или емкость). Активная мощность в этом элементе , так как напряжение и ток в индуктивности или емкости различаются по фазе на 90^o. В реактивных элементах отсутствуют необратимые потери электрической энергии, не происходит нагрева элементов. Происходит обратимый процесс в виде обмена электрической энергией между источником и приемником. Для качественной оценки интенсивности обмена энергией вводится понятие реактивной мощности Q.

Преобразуем выражение

где - мгновенная мощность в активном сопротивлении;

- мгновенная мощность в реактивном элементе (в индуктивности или в емкости).

Максимальное или амплитудное значение мощности p₂ называется реактивной мощностью (Вар ), sinφ = x/z.

Здесь x - реактивное сопротивление (индуктивное или емкостное).

Реактивная мощность, измеряемая в вольтамперах реактивных, расходуется на создание магнитного поля в индуктивности или электрического поля в емкости. Энергия, накопленная в емкости или в индуктивности, периодически возвращается источнику питания.

Амплитудное значение суммарной мощности p = p₁ + p₂ называется полной мощностью.

Полная мощность, измеряемая в вольтамперах, равна произведению действующих значений напряжения и тока:

,

где z - полное сопротивление цепи.

Полная мощность характеризует предельные возможности источника энергии. В электрической цепи можно использовать часть полной мощности P = UIcosφ = Scosφ, где - коэффициент мощности или "косинус "фи".

Коэффициент мощности является одной из важнейших характеристик электротехнических устройств. Принимают специальные меры к увеличению коэффициента мощности. Возьмем треугольник сопротивлений и умножим его стороны на квадрат тока в цепи. Получим подобный треугольник мощностей (рис. 3.30).

Из треугольника мощностей получим ряд формул:

, , , .

При анализе электрических цепей символическим методом используют выражение комплексной мощности, равное произведению комплексного напряжения на сопряженный комплекс тока.

Для цепи, имеющей индуктивный характер (R-L цепи)

,

где - комплекс напряжения; - комплекс тока; - сопряженный комплекс тока; - сдвиг по фазе между напряжением и током.

, так как в R-L цепи, напряжение опережает по фазе ток.

Вещественной частью полной комплексной мощности является активная мощность. Мнимой частью комплексной мощности - реактивная мощность.

Для цепи, имеющей емкостной характер (R-С цепи), . Ток опережает по фазе напряжение.

.

Активная мощность всегда положительна. Реактивная мощность в цепи, имеющей индуктивный характер, - положительна, а в цепи с емкостным характером - отрицательна.

3.11. Баланс мощностей

Для схемы на рис. 3.31 запишем уравнение по второму закону Кирхгофа .

Умножим левую и правую части уравнения на сопряженный комплекс тока

или

где - результирующее реактивное сопротивление;

I²- квадрат модуля тока.

где - полная комплексная, активная и реактивная мощности источника питания.

где - активная и реактивная мощности, потребляемые элементами схемы. Таким образом, получили уравнение .

Два комплексных числа равны, если равны по отдельности их вещественные и мнимые части, следовательно данное уравнение распадается на два:

.

Полученные равенства выражают законы сохранения активных и реактивных мощностей.

3.12. Согласованный режим работы электрической цепи.
Согласование нагрузки с источником

В схеме на рис. 3.32 z_i, R_i, X_i - полное, активное и реактивное сопротивления источника ЭДС, z _н, R _н, X _н - полное, активное и реактивное сопротивления нагрузки.

Активная мощность может выделяться только в активных сопротивлениях цепи переменного тока.

Активная мощность, выделяемая в нагрузке,

. (*)

Активная мощность, развиваемая источником ЭДС

.
Коэффициент полезного действия для данной схемы:

.

Из формулы (*) видно, что выделяемая в нагрузке мощность будет максимальной, когда знаменатель минимален. Последнее имеет место при , т.е. при . Это означает, что реактивные сопротивления источника и нагрузки должны быть одинаковы по модулю и иметь разнородный характер. При индуктивном характере реактивного сопротивления источника реактивное сопротивление нагрузки должно быть емкостным и наоборот.

.

Установим условие, при котором от источника к нагрузке будет передаваться наибольшая мощность.

.

Отсюда .

От источника к нагрузке передается наибольшая мощность, когда

. .

Величина наибольшей мощности

.

Режим передачи наибольшей мощности от источника к нагрузке называется согласованным режимом, а подбор сопротивлений и - согласованием нагрузки с источником.

В согласованном режиме

.

Половина мощности теряется внутри источника. Поэтому согласованный режим не используется в силовых энергетических цепях. Этот режим используют в информационных цепях, где мощности могут быть малыми, и решающими являются не соображения экономичности передачи сигнала, а максимальная мощность сигнала в нагрузке.