Сложение и вычитание линейных преобразований

Пусть даны линейные преобразования и линейного пространства . Если любой вектор из , то = и = ‑ векторы из . Если вектору поставим в соответствие единственный вектор из , то получим преобразование линейного пространства . Оно называется суммой линейных преобразований и и обозначается + .

Итак, по определению

( + ) = + = + .

Аналогично определяется разность линейных преобразований

( – ) = ‑ = ‑ ..

Теорема 3. Если и – линейные преобразования линейного пространства , то преобразования + и – линейного пространства являются линейными.

Теорема 4. Если и – матрицы, соответственно, линейных преобразований и линейного пространства L в базисе , то матрицы + , – являются соответственно матрицами линейных преобразований + и – в том же базисе.

Пример 2. Пусть базис линейного пространства , , – его линейные преобразования и их матрицы соответственно . Найти матрицy линейных преобразований в базисе е:

1). 2 +3 ;

2). 3 – .

Решение.

1) 2A+3B = ;

2) 3B – A = .