Тема 2. Арифметические пространства

Определение арифметического линейного пространства. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Связь между линейной зависимостью и независимостью системы векторов и её подсистемы. Понятие подпространства арифметического пространства. Линейная оболочка и подпространство. Теорема о линейной (не)зависимости линейной комбинации. Понятие базиса и ранга. Корректность понятия ранга. Единственность разложения по базису. Теорема: любую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса. Эквивалентные системы векторов. Ранг эквивалентных систем. Элементарные преобразования системы векторов. Определение ранга матрицы и минора k -го порядка. Теорема о ранге матрицы. Следствия из теоремы о ранге. Критерий равенства определителя нулю. Теорема о размерности подпространства решений системы однородных линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли. Запись общего решения системы линейных уравнений. Определение фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений. Теорема о количестве векторов в ФСР.

Основные термины: арифметическое линейное пространство, линейная зависимость векторов, линейная независимость векторов, базис линейного пространства, ранг системы векторов, ранг матрицы, фундаментальная система решений.

Контрольные вопросы по теме 2:

1. Выяснить, являются ли векторы линейно зависимыми:

а) ;

б) .

2. Векторы е ₁=(1, 1, 1), е ₂=(1, 1, 2), е ₃=(1, 2, 3) и х =(6, 9, 14) заданы своими координатами в некотором базисе показать, что векторы е ₁, е ₂, е ₃ сами образуют базис и найти координаты вектора х в этом базисе.

3. Какую матрицу называют расширенной матрицей системы?

4. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений