Теорема Кронекера-Капели

Система (3.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы этой системы равен рангу расширенной матрицы этой самой же системы.

Ранг совместной системы позволяет судить о количестве решений. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если же ранг меньше числа неизвестных ― бесчисленное множество решений.

Обратная матрица: алгоритм ее вычисления, решение систем методом обратной матрицы

Рассмотрим единичную матрицу Е = . Ее определитель | E |= 1.

Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Пусть дана квадратная матрица А.

Матрица А^{- 1} называется обратной к данной матрице, если верно условие:

А^-1·А=А·А^-1=Е.

Следует особо отметить, что обратная матрица существует только для невырожденной матрицы и единственна.

|А^-1|·|А|=|Е|= 1.

Пусть нам дана исходная матрица А = .

Процесс нахождения обратной матрицы можно условно разделить на 4 этапа:

Нахождение определителя данной матрицы, он не должен быть равен нулю (в противном случае имеем вырожденную матрицу, для которой не существует обратной матрицы). Обозначим его через d=| A |.

Составление матрицы Ă, главная особенность которой это то, что вместо элементов матрицы стоят их алгебраические дополнения (для строки i и столбца j это будет алгебраическое дополнение A_{i j}).

Ă = .

Транспонирование матрицы Ă, в результате чего получаем матрицу Ā, которая называется присоединенной к матрице А.

Ā = .

В этих обозначениях справедлива следующая теорема:

А^-1 = · , или А^-1 = .

Т.е. А^-1= .

Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными подобно (3.1).

Образуем матрицы следующего вида: X = , B = , A = .

Рассмотрим произведение матриц A и X.

A · X = т.е. имеем столбец левых частей уравнений, поэтому систему уравнений можно записать в виде:

A · X = B.

Такой вид системы уравнений называется матричной формой записи системы уравнений.

Пусть | A | 0. тогда по теореме Крамера данная система уравнений имеет единственное решение. По теореме об обратной матрице существует обратная матрица. Умножим обе части равенства на А^-1 слева:

= А^-1 ·B

- решение системы методом обратной матрицы.

.

План семинарского занятия

Основные определения и понятия: матрица, главная диагональ, виды матриц.

Определение операций над матрицами и применение с соответствующих теоретических знаний при решении примеров.

Термин «определитель матрицы», его нахождение в заданиях.

Определение системы линейных уравнений и различных ее видов в зависимости от количества решений. Перечисление элементарных преобразований системы.

Определения «ранг матрицы» и «минор порядка k». Использование критерия совместности системы.

Использование правила Крамера для решения систем линейных уравнений.

Принцип сведения системы линейных уравнений к записи в матричной форме.

Повторение и использование при решении систем линейных уравнений алгоритма нахождения обратной матрицы.