Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Abel N. Н. (1826). Письмо к Ганстину, в «Oeuvres». Sylow, Lie (Eds.), Christiania, vol. II, 1881, 263—265.
Aetius (ок. 150). Placita.
Alexandrov A. D. (1956). Введение к Aleksandrov, Kholmogorov, Lavrentiev (eds). Mathematics, its content, methods and meaning. Moscow; английский перевод S. H. Goura.— Am. Math. Soc., Rhode Island, 1962.
Ambrose A. (1959). Proof and the theorem, proved.—Mind, N. S., 67, 435-445.
Arber A. (1954). The mind and the eye. Cambridge.
Arnauld A. (1724). L'art de penser. Paris.
Вa1tzer R. (1860—62). Die Elemente der Mathematik I—II. Leipzig. Bartley W. W. (1962). Retreat to commitment. N. Y.
Becker J. C. (1869). Ueber Polyeder. Z. Math, und Physik, 14, 65-76.
Becker J. C. (1869a). Nachtrag zu dem Aufsatze iiber Polyeder.— Z. Math, und Physik., 14, 337—433.
Becker J. C. (1874). Neuer Beweis und Erweiterung eines Fundamentalsatzes uber Polyederflachen.— Z. Math, und Physik, 19, 459—460.
Bell E. T. (1945). The Development of mathematics, 2nd ed. N. Y.
Berard J. B. (1818—19). Sur le nombre des racines imaginaries des equations; en reponse aux articles de MM. Tederat et Servois.— Ann. de math, purcs et appl., 9, 345—372.
Bernays P. (1947). Review of Polya's «How to solve it».—Dialectica, 1, 178—188.
Bolzano B. (1837). Wissenschaftslehre. Versuch einer ausfuhrlichen und gro'ssenteils neuen Darstellung der Logik mit steter Riicksicht auf deren bisherige Bearbeiter. Sulzbach.
Braithwaite R. B. (1953). Scientific explanation. Cambridge.
Brouwer L. E. J. (1952). Historical background, principles and methods of intuitionism.—South African J. Sci., 49 (1952—53), 139-146.
Carnap R. (1937). The logical syntax of language. N. Y. London (просмотренный перевод «Logische Syntax der Sprache». Vienna, 1934).
Cauchy A. L. (1811). Recherches sur les polyedres.—J. de 1'Ecole Polytechnique, 1813, 9, 68—86. (Прочитано в февр. 1811 г.)
Cauchy A. L. (1812). Sur les polygones et les polyedres.—J. de 1'Ecole Polytechnique, 1813, 9, 87—98. (Прочитано в январе 1812 г.)
Cauchy A. L. (1821). Cours d'Analyse. Paris.
Cayley A. (1859). On Poinsot's four new regular solids.— The London, Edinburgh and Dublin Philos. Mag. and J. Sci., 4th ser., 17, 123—128.
Cayley A. (1861). On the partitions of a close.—The London, Edinburgh and Dublin Philos, Mag. and J. Sci., 4th ser., 21, 424—428.
Church A. (1956). Introduction to mathematical logic. I. Princeton.
Clairaut A. C. (1741). Elements de Geometrie. Paris.
Copi I. M. (1949). Modern logic and the synthetic a priori.— J. Philos., 46, 243—245.
Copi I. M. (1950). Goedel and the synthetic a priori: a rejoinder.- J. Philos., 47, 633-63C.
Crelle A. L. (1826—27). Lehrbuch der Elemente der Geometrie. Berlin, I—II.
Curry H. B. (1951). Outlines of a formalist philosophy of mathematics. Amsterdam.
Darboux C. (1874). Письмо к Houel, цитируется у F. Rostand: Souci d'exactitude et scrupules des mathematiciens.— Paris, 1960, 11.
Darboux С. (1874a). Письмо к Houel, цитируется у F. Rostand: Souci d'exactitude et scrupules des mathematiciens. Paris, 1960, 194.
Darboux C. (1883). Письмо к Houel, цитируется у F. Rostand: Souci d'exactitude et scrupules des mathematiciens. Paris, 1960, 261.
Denjoy A. (1919). L'orientation actuelle des mathematiques.—Revue du mois, 20, 19—28.
Descartes R. (1628). Regulae ad Directionem Ingenii. Цитируется по переводу Haldane — Ross.
Descartes R. (ок. 1639). De solidorum elementis, впервые опубликовано Foucher de Careil: Oeuvres inedites de Descartes, II. Paris, 1860, 214—234. Значительно исправленный текст, см. Adam — Tannery. Oeuvres de Descartes, vol. X. Paris, 1908, 257-278.
Dieudonne J. (1939). Les methodes axiomatiques modernes et les fondements des mathematiques.— Rev. sci., 77, 225—231.
Diogenes Laertius (ок. 200). Жизнеописания греческих философов.
Einstein A. (1953). Письмо к P. A. Schilpp, опубликовано в Schilpp: The Abdication of Philosophy, Kant Studien, 51, 1959—60, 490—91
Euler L. (1750). Elementa Doctrinae Solidorum. Novi commenta-rii academiae scientiarum Petropolitanae (1752—1753), 1758, 4, 109—140. (Прочитано в ноябре 1750 г.)
Euler L. (1751). Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita, Novi commen-tarii academiae scientiarum Petropolitanae (1752—1753), 1758, 4, 140—160. (Прочитано в сентябре 1751 г.).
Euler L. (1753). Specimen de usu observationum in mathesi pura. Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, (1756— 57), 1761, 6, 185—230. Издательское резюме, ibid., 19—21.
Eves and Newsоm (1958). An introduction to the foundations and fundamental concepts of mathematics. N. Y.
Felix. (1957). L'aspect moderne des mathematiques. Paris.
Forder H. G. (1927). The foundations of euclidean geometry. Cambridge.
Frechet M. (1928). Les espaces abstraits. Paris.
Frechet M. (1938). L'analyse generale et la question de fondements. В книге Gonseth (изд.). Les Entretien de Zurich, 1941.
Frege C. (1893). Grundgesetze der Arithmetik, I. Jena.
Gamow С. (1953). One, two, three... infinity. N. Y.
Goldschmidt R. (1933). Some aspects of evolution.— Science, 78, 539-547.
Grunert J. A. (1827). Einfacher Beweis der von Gauchy und Eu-ler gefundeaen Satze von Figurennetzen und Polyedern.— J. die reine und angew. Math., 2, стр. 367.
Hardy G. H. (1928). Mathematical proof.—Mind. N. S., 38, 1—25,
Haussner R. (ed.) (1906). Abhandlungen iiber die regelmassigen Sternkorper.— Ostwald's Klassiker der Wissenschaften, N 151. Leipzig.
Heath Th. L. (1925). The thirteen books of Euclid's elements, второе издание. (Первое издание появилось в 1908 г.).
Hempel С. G. (1945). Studies in the logic of confirmation, I—II.— Mind, N. S., 54, 1-26, 97-121.
Hermite C. (1893). Lettre a Stieltjes, 20 mai 1893, Correspondence d'Hermite et de Stieltjes, Publiee par les soins de B. Baillaud et H. Bourget, I—II. Paris, 1905, vol. II, 317—319.
Hessel F. Ch. (1832). Nachtrag zu dem Euler'schen Lehrsatze von Polyedern.— J. die reine und angew. Math. 8, 13—20.
Hetting A. (1939). Les fondements des mathematiques du point de vue intuitioniste. Appendix to F. Gonseth: Philosophic mat-hematique. Paris.
Hey ting A. (1956). Intuitionism. An introduction. Amsterdam.
Hilbert D., Cohn-Vossen S. (1956). Geometry and imagination. N. Y. Оригинальное немецкое издание: Anschauliche Geo-metrie. Berlin, 1932.
Hobbes T. (1651). Leviathan, or the matter, form and power of a Commonwealth, Ecclesiastical and Civil. London.
Hobbes T. (1656). The questions concerning liberty, necessity and chance, clearly stated and debated between Dr. Bramhall, Bishop of Derry, and Thomas Hobbes of Malmesbury. London.
Holder O. (1924). Die mathematische Methode. Berlin.
Hoppe R. (1879). Erganzung des Eulerschen Satzes von den Polyedern.—Arch. Math, und Physik, 63, 100—103.
Husserl E. (1900). Logische Untersuchungen, I. Halle.
Jonquieres E. de (1890a). Note sur un point fondamental de la theorie des polyedres.— Comptes rendus des seances de L'Acade-mie des Sciences, 170, 110—115.
Jonquieres E. (1890b). Note sur le theoreme d'Euler dans la theorie des polyedres.— Comptes rendus des seances de ГАса-demie des Sciences, 110, 169—173.
Jordan C. (1866). Recherches sur les polyedres.—J. die reine und angew. Math., 57, 22—85.
Jordan C. (1866a). Resume de recherches sur la symetrie des polyedres non Euleriens.— J. die reine und angew. Math., 57, 86-91.
Kant I. (1781). Kritik der reinen Vernunft. Riga.
Kepler I. (1619). Harmonices mundi. Lincii.
Lakatos I. (1961). Essays in the Logic of mathematical discovery, Ph. D. Dissertation. Cambridge.
Lakatos I. (1962). Infinite Regress and the foundations of mathematics, Aristotelian society supplementary volume. 36, 155—184.
Landau E. (1930). Grundlagea der Analysis. Leipzig.
Lebesgue H. (1923). Notice sur la vie et les travaux de Camille Jordan. Перепечатано в H. Lebesgue: Notices d'Histoire des Mathematiques. Geneve, 1958, 40—65.
Lebesgue H. (1928). Lemons sur 1'integration. Paris. Второе, увеличенное издание первоначального 1903 г.
Legendre (1794). Elements de geometric. Paris. Нумерация страниц по изданию 1809 г.
Lhuilier S. A. J. (1812—1813). Memoire sur polyedrometrie: con-tenant une demonstration directe du Theoreme d'Euler sur les polyedres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce theoreme est assujetti.— (Extrait) par M. Gergonne.— Annal. math, pures et appl., 3, 169—191. Lhuilier S. A. J. (1812—1813a). Memoire sur les solides reguliers.— Ann. math, pures et appl., 3, 233—237.
Listing J. B. (1861). Der Census raumlicher Complexe.—Abhandl. Koniglichen Gesellschaft Wiss. Gatingen, 10, 97—182. (Прочитано в декабре 1861 г.)
Matthiessen L. (1863). Ueber die scheinbaren Einschrankungen des Euler'schen Satzes von den Polyedern.— Z. Math, und Physik, 8, 449—450.
Meister A. L. F. (1769—1770). Generalia de genesi figurarum planarum et inde pendentibus earum affectionibus, Novi Com-mentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis, 1771, 1, 144—180.
Moebius A. F. (1827). Der baryzentrische Calcul. Leipzig.
Moebius A. F. (1865). Ueber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyeders.— Ber. Konigl. Sachs. Ges. d. Wiss., Math.-phys. Klasse, 17, 31—68.
Moore E. H. (1902). On the foundations of mathematics.—Science, 17 (1903), 401-416.
Munroe M. E. (1953). Introduction to Measure and Integration.Cambridge, Mass.
Neumann J., von (1947). The mathematician. В Heywood (ed.); The works of the mind. Chicago (Перепечатано в «Collected works», vol. I, 1961, 1—9).
Newton I. (1717). Optics, or, a treatise of the reflections, refractions, inflections and colours of light, second Ed. London.
Olivier L. (1826). Bemerkungen iiber Figuren, die aus beliebigen von geraden Linien umschlossenen Figuren zusammengesetzt sind.— J. die reine und angew. Math., I, 1826, 227—231.
Pascal B. (1657—1658). Les Reflexions sur la Geometric en general (De 1'esprit geometrique et de 1'art de persuader).
Peanо C. (1894). Notations de logique mathematique. Turin.
Poincare H. (1893). Sur la generalisation d'un theoreme d'Euler relatif aux polyedres.— Comptes rendus des seances de 1'Acade-mie des Sciences, 117, 144.
Poincare H. (1899). Complement а l’Analysis Situs. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 13, 285—343.
Poincare H. (1902). La Science et 1'Hypothese. Paris. Авторизованный английский перевод В. Halsted: The foundations of science, 27—197. Lancaster, Pa, 1913.
Poincare H. (1905). La Valeur de la Science, Paris; авторизованный перевод G. В. Halsted: The foundations of science, 27—197. Lancaster, Pa, 1913.
Роinсare H. (1908). Science et Methode. Paris. Авторизованный английский перевод G. В. Halsted: foundations of science, 359— 546. Lancaster, Pa, 1913.
Poinsot L. (1809). Memoire sur les polygones et les polyedres.— «J. de 1'Ecole Polytechnique», 1810, 4, 16—48. (Прочитано в июле 1809 г.)
Poinsot L. (1858). Note sur la theorie des polyedres.—Comptes rendus de 1'Academie des Sciences, 46, 65—79.
Po1уa G. (1945). How to solve it. Princeton.
Polуa G. (1954). Mathematics and plausible reasoning, I—II. London.
Polуa G. (1962a). Mathematical discovery, I. N. Y.
Polya G. (1962b). The teaching of mathematics and the biogene-tic law. «The scientist speculates» (ed. L. J. Good). London, 352—356.
Polya G., Szego G. (1925). Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. Berlin.
Popper K. R. (1934). Logik der Forschung. Vienna (Английский перевод: The logic of scientific discovery. London, 1958).
Popper K. R. (1945). The open society and its enemies. London.
Popper K. R. (1947—1948). Logic without assumptions.—Aristotelian Soc. Proc. 47, 251—292.
Popper K. R. (1952). The nature of philosophical problems and their roots in science.— Brit. J. Philos. Sci., 3, 124—156. Перепечатано в 1963а.
Popper K. R. (1957). The poverty of Historicism. London.
Popper K. R. (1963a). Conjectures and refutations. London.
Popper K. R. (1963b). Science: problems, aims, responsibilites.— Federation Am. Soc. Exp. Biol. Federation Proc., 22, 961—972.
Quine W. V. O. (1951). Mathematical logic, пересмотренное издание. Cambridge, Mass. (1-е издание 1940).
Raschig L. (1891). Zum Eulerschen Theorem der Polyedrometrie. Festschrift des Gymnasium. Schneeberg.
Reichardt H. (1941). Losung der Aufgabe 274,—Jahresberichte Dtsch. Math. Vereinigung, 51, 23.
Riemann B. (1851). Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Functionen einer veranderlichen complexen Grosse, Inaugural dissertation. Gottingen.
Robinson R. (1936). Analysis in Greek Geometry.—Mind, 45, 464—73.
Robinson R. (1953). Plato's earlier dialectic. Oxford.
Rudin W. (1953). Principles of mathematical analysis. N. Y.
Russel B. (1901). Recent work in the philosophy of mathematics.— Int. Monthly, 3.
Russel B. (1903). Principles of mathematics. London.
Russel B. (1918). Mysticism and logic. London.
Saks S. (1933). Theorie de Fintegrale. Warsaw. Английский перевод второго издания: Theory of the integral. Warsaw, 1937.
Schlafli L. (1852). Theorie der vielfachen Kontinuitat. Посмертно опубликовано в «Neue Denkschrifton der allgemeinen Schwei-zerischen Gesellschaft fur die gesamten, Naturwissenschaften», 38. Zurich, 1901.
Schroder E. (1892). Ueber dio Vielecke von gebrochener Seiton-zahl oder die Bedeutung der Stern-polygone in der Geometric.— Z. Math, und Physik., 7, 55—64.
Seidel Ph. L. (1847). Note iiber eine Eigenschaft der Reihen, weiche discontinuirliche Functionen darstellen. «Abhandl. Math.-Phys. Klasse der Kgl. Bayerischen Akademie Wiss., 5, 381—394.
Sextus Empiricus (ок. 190). Против логиков.
Somruerville D. M. Y. (1929). An introduction to the geometry of n-dimensions. London.
Steiner J. (1826). Leichter Beweis eines stereometrischen Satzes von Euler.— J. die reine und angew. Math., 1, 364—367.
Steinhaus H. (1960). Mathematical snapshots. N. Y., Revised and enlarged edition.
Steeinitz E. (1914—1931). Polyeder and Raumeinteilungen. В W. Fr. Meyer, H. Mohrmann (eds.): Encyklopadie der mathema-tischen Wissenschaften. Leipzig, Bd. Ill, AB. 12. Szabo A. (1958). Deiknymi als mathematischer Terminus fur «Beweisen».—Maia, N. S., 10, 1—26.
Szabo A. (I960). Anfange des euklidischen Axiomensystems.—Arch. History. Exact Sci., 1, 1960, 37—106.
Тarski A. (1930a). Uber einige fundamental Begriffe der Meta-mathematik.— Comptes rendus des seances de la Societe et des Lettres de Varsovie, 23, Cl. Ill, 22—29. На английском языке опубликовано в Tarski: Logic, semantics, metamathematics. Oxford, 1956, pp. 30—37.
Tarski A. (1930b). Fundamental Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften, I.— Monatshefte Math, und Physik, 37, 361—404. На английском языке опубликовано в Tarski: Logic, semantics, metamathematics. Oxford, 1956, 60—109.
Tarski A. (1935). On the concept of logical consequence. Опубликовано в Tarski: Logic, semantics, metamathematics. Oxford, 1956, 409—420. Доклад был прочитан в 1935.
Tarski A. (1941). Introduction to Logic and to the methodology of deductive sciences. N. Y. Second ed., 1946. Это частично измененный и расширенный перевод «On mathematical logic and deductive method» (польский оригинал опубликован в 1936, немецкий перевод в 1937).
Turquette А. (1950). Godel and the synthetic a priori,—J.Philos. 47, 125—129.
Waerden B. L., van der (1941). Topologie und Uniformisierung der Riemannsches Flachen.— Bericnte der Math. Phys. Klasse der Sachsischen Akademie der Wissenschaften. Leipzig, 93, 148—160.
Whitehead A.N., Russell B. (1910—1913). Principia mathe-matica, vol. I, 1910, vol. II; 1912; vol. Ill, 1913. Cambridge.
Wilder R. I. (1944). The nature of mathematical proof.— Am. Math. Monthly, 51, 309—323.
Zacharias M. (1914—1931). Elementargeometrie. В W. Fr. Meyer, H. Mohrmann (eds.): Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften, III, AB, 9. Leipzig.
Примечания Г.Копылова, превратившего текст книги в файл
С тех пор, как вышла книга Лакатоса в переводе И.Веселовского, многое изменилось: фамилия Полья теперь переводится как Пойа, многие источники, указанные в списке литературы, переведены на русский язык (другие труды Лакатоса, Поппер, Тарский, Пуанкаре и пр.). Но я не стал ничего менять, кроме очевидных погрешностей перевода.
[1] См. Чёрч (Church) (1956), 1, стр. 76—77. Также у Пеано (1894), стр. 49 и у Уайтхеда — Рассела (1910—1913), 1, стр. 12. Это интегральная часть евклидовой программы, формулированной Паскалем (1657—1658); ср. Лакатос (1962), стр. 158.
* Ситуационная логика — принадлежащий, по-видимому, Попперу малораспространенный термин, обозначающий логику продуктивную, логику математического творчества.— Прим. пер.
[2] Подробности и аналогичные ссылки см. в библиографическом списке в конце статьи.
[3] Б. Рассел (В. Russel, 1901). Эта работа была перепечатана как 5-я глава труда Рассела (1918) под заглавием «Математика и метафизика». В издании «Пингвина» (1953) цитату можно найти на стр. 74. В предисловии к труду (1918) Рассел говорит об этой работе: «Тон этого очерка отчасти объясняется тем, что издатель просил меня сделать его „сколь возможно романтическим"».
[4] Согласно Тюркетту (Turquette), положения Геделя не имеют смысла (1950), стр. 129. Тюркетт спорит с Копи (Copi), который считает, что, поскольку эти положения являются «априорными истинами», но не аналитическими, то они опровергают аналитическую теорию априорности (1949) и (1950). Никто из них не замечает, что особый статус положений Геделя с этой точки зрения состоит в том, что эти теоремы являются теоремами неформальной содержательной математики и что в действительности они оба обсуждают статус неформальной математики в частном случае. Они также не замечают, что теории неформальной математики определенно являются догадками, которые с точки зрения догматиста вряд ли возможно разделить на догадки a priori и a posteriori.
[5] Polya (1945), в особенности стр. 102 и также (1954), (1962а); Bernays (1947), в особенности стр. 187.
[6] Popper (1934), затем (1945), в особенности стр. 90 в четвертом издании (1962, стр. 97), а также (1957), стр. 147 и сл.
[7] Это можно иллюстрировать работами Тарского (1930а) и (1930b). В первой статье Тарский пользуется термином «дедуктивные науки» явно как стенографическим выражением для «формализованных дедуктивных наук». Он говорит: «Формализованные дедуктивные дисциплины составляют поле исследований метаматематики примерно в том же смысле, как пространственные сущности составляют поле исследований для геометрии». Этой разумной формулировке придается занятный империалистический уклон во второй статье. «Дедуктивные дисциплины составляют предмет (subjectmatter) методологии дедуктивных наук примерно в таком же смысле, в каком пространственные сущности составляют предмет геометрии, а животные — зоологии. Естественно, не все дедуктивные дисциплины представляются в форме, подходящей для объектов научного исследования. Неподходящими будут, например, такие, которые не опираются на определенный логический базис, не имеют точных правил вывода (inference) и в которых теоремы формулируются в обычных двусмысленных и неточных терминах разговорного языка — одним словом, те, которые не формализованы. Метаматематические исследования, таким образом, сводятся к рассмотрению лишь формализованных дедуктивных дисциплин». Нововведением является то, что в первой формулировке устанавливается, что предметом метаматематики являются формализованные дедуктивные дисциплины, в то время как вторая говорит, что предмет метаматематики сводится к формализованным дедуктивным дисциплинам только по той причине, что неформализованные дедуктивные дисциплины вообще не являются подходящим предметом научного исследования. Это предполагает, что предыстория формализованной дисциплины не может быть предметом научного исследования, в то время как, наоборот, предыстория зоологического вида вполне может быть предметом научной теории эволюции. Никто не будет сомневаться, что к некоторым проблемам, касающимся математической теории, можно подойти только после того, как они будут формализованы, совершенно так же, как некоторые проблемы относительно человеческих существ (например, касающиеся их анатомии) могут быть изучаемы только после их смерти. Но на этом основании не многие будут утверждать, что человеческие существа будут «пригодны для научного исследования», только когда они «представляются в мертвом виде», и что, следовательно, биологические исследования сводятся к изучению мертвых человеческих существ, хотя я не был бы изумлен, если бы какой-нибудь энтузиаст — ученик Везалия в славные дни ранней анатомии, когда появились новые мощные методы диссекции, отождествил биологию с анализом мертвых тел.
В предисловии к работе (1941) Тарский подчеркивает свое отрицание возможности какой-нибудь методологии, отличной от формальных систем: «Курс методологии эмпирических паук... должен главным образом состоять из оценок и критик скромных попыток и безуспешных усилий». Причина заключается в том, что, поскольку Тарский определяет научную теорию «как систему подобранных утверждений, расположенных в соответствии с некоторыми правилами» (там же), то эмпирические науки не являются науками.
[8] Одно из наиболее опасных заблуждений сторонников формалистской философии заключается в том, что (1) они стараются установить что-нибудь (вполне правильно) относительно формальных систем; (2) затем сказать, что это применимо и к «математике» — это будет опять правильно, если мы примем отождествление математики с формальными системами; (3) наконец, со скрытым изменением смысла, использовать термин «математика» в обычном смысле. Так, Куайн говорит (1951, стр. 87), что «это отражает характерную для математики ситуацию; математик наталкивается на свое доказательство при помощи неуправляемой интуиции и „счастья", а затем другие математики могут проверить его „доказательство"». Но проверка обычного доказательства часто представляет очень деликатное предприятие, и, чтобы напасть на «ошибку», требуется столько же интуиции и счастья, сколько и для того, чтобы натолкнуться на доказательство; открытие «ошибок» в неформальных доказательствах иногда может потребовать десятилетий, если не столетий.
[9] Пуанкаре и Полья предлагают «основной биологический закон» Геккеля относительно онтогенеза, повторяющего филогенез, применять также и к умственному развитию, в частности, к математическому умственному развитию [Пуанкаре (1908), стр. 135 и Полья (1962b)]. Цитируем Пуанкаре: «Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного повторяет всю историю его предков в течение геологического времени. По-видимому, то же происходит и в развитии ума... По этой причине история науки должна быть нашим первым руководителем».
[10] По поводу дискуссии относительно роли математики в догматико-скептическом споре см. мою работу (1962).
[11] Впервые замечено Эйлером (1750). Первоначальной его задачей было дать классификацию многогранников. На трудность этого было указано в заключении издателя: «В то время как в плоской геометрии многоугольники (figurae rectilineae) легко могут быть классифицированы по числу сторон, которое, конечно, всегда будет равно числу углов, в стереометрии классификация многогранников (corpora hedris planis inclusa) представляет собой значительно более трудную задачу, так как только одно число граней недостаточно для этой цели». Ключом к полученному Эйлером результату было как раз введение понятий вершины и ребра; он первый указал на то, что кроме числа граней число точек и линий на поверхности многогранника определяет его (топологический) характер. Интересно отметить, что, с одной стороны, он очень хотел подчеркнуть новизну его концептуальной основы и что ему пришлось изобрести термин «acies» (ребро) вместо старого «latus» (сторона), так как «latus» было понятием, относящимся к многоугольникам, тогда как ему нужно было ввести понятие, относящееся к многогранникам; с другой стороны, он все же удержал термин «angu1us sо1idus» (телесный угол) для подобных точке вершин. С недавнего времени стали считать, что приоритет в этом деле принадлежит Декарту. Основанием этого притязания является рукопись Декарта (ок. 1639), скопированная с оригинала Лейбницем в Париже в 1675—1676 гг. и снова открытая и опубликованная Foucher de Careil в 1860 г. Однако приоритет Декарту отдать нельзя. Верно, что Декарт устанавливает, что число плоских углов равно 2j+2a—4, где j обозначает у него число граней, а a — число телесных углов. Также верно то, что он устанавливает, что плоских углов вдвое больше, чем ребер (latera). Простое соединение двух этих положений, конечно, даст формулу Эйлера. Но Декарт не видел надобности сделать это, так как он все же мыслил в терминах углов (плоских и телесных) и граней и не сделал сознательного революционного изменения, а именно: не ввел понятия нуль-мерных вершин, одномерных ребер и двумерных граней в качестве необходимого и достаточного основания для полной топологической характеристики многогранников.
[12] Эйлер проверил свою догадку достаточно исчерпывающим образом. Он испытал ее на призмах, пирамидах и т. д. Он мог бы добавить, что существование только пяти правильных тел тоже является следствием его догадки. Другое подозреваемое следствие представляет недоказанное до сих пор предложение, что четырех цветов вполне достаточно для раскрашивания карты.
Фазы догадки и испытания в случае V—E+F=2 разобраны Полья (1954), т. 1 (первые пять отделов третьей главы, стр. 35—41). Полья остановился здесь и не разобрал фазы доказательства, хотя, конечно, он указал на необходимость для эвристики «задач для доказательства». Наше рассуждение начинается там, где Polya останавливается.
[13] Так думал Эйлер в 1750 г. (стр. 119 и 124). Но позднее (1751) он предложил доказательство.
[14] Идея этого доказательства восходит к Коши (1811).
[15] Мнение Дельты, что это доказательство установило «теорему», вне всякого сомнения, разделялось многими математиками XIX в., например Crelle (Crelle, 1826—1827), т. II, стр. 668— 671, Маттисеп (Matthiesen, 1863), стр. 449, Жонкьер (Jonquieres, 1890а и 1890b). Стоит привести характерный пассаж: «После доказательства Коши стало абсолютно несомненным, что изящное соотношение V — Е + F = 2 применимо к многогранникам любога вида, как и установил Эйлер в 1752 г. В 1811 г. вся нерешительность должна была исчезнуть» [Жонкьер (1890), стр. 111—112].
[16] Этот класс, по-видимому, очень передовой. Для Коши, Пуансо и многих других прекрасных математиков XIX в. эти вопросы не существовали.
[17] Мысленный эксперимент (deiknymi) был наиболее древним образом математического доказательства. Он преобладал в доевклидовой греческой математике [см. Шабо (A. Szabo, 1958)].
То, что в эвристическом порядке догадки (или теоремы) предшествуют доказательствам, было общим местом у древних математиков. Это вытекает из эвристического предшествования «анализа» «синтезу» [см. прекрасный разбор у Робинсона (Robinson, 1936)]. По Проклу — «необходимо сначала знать, что ищешь» [Хизс (Heath, 1925, т. 1, стр. 129)]. «Они говорили, что теорема представляет то, что предложено с намерением доказать это предложение», — говорит Папп (там же, т. 1,10). Греки не думали много о предложениях, на которые они случайно наталкивались по ходу дедукции, если только предварительно о них не догадывались. Они называли поризмами — следствиями — те побочные результаты, которые получались из доказательства теоремы или решения задачи, результаты которых они непосредственно не искали; эти поризмы появлялись в таком виде случайно, без каких-нибудь добавочных трудов, и представляли, как говорит Прокл, нечто вроде плода, сбитого ветром (ermaion) или премии (kerdos) (Там же, стр. 278). В издательском послесловии к Эйлеру (1753) мы читаем, что арифметические теоремы «бывали открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгим доказательством». Как Эйлер, так и издатель для этого процесса открытия употребляют новейший термин «индукция» вместо древнего «analysis». Эвристическое предшествование результата перед аргументацией или теоремы перед доказательством глубоко укоренилось в математическом фольклоре. Приведем несколько вариаций на знакомую тему: говорят, что Хризипп написал Клеанфу: «Пришли только мне теоремы и тогда я найду доказательства» [Диоген Лаэрций (ок. 200), VII, 179], Говорят, что Гаусс жаловался: «Я уже давно имел мои результаты, но я еще не знаю, как мне к ним прийти» [см. Арбер (Аrber, 1954), стр. 77)] и Риман: «Если бы я только имел теоремы! Тогда я смог бы достаточно легко найти доказательства» [См. Гёльдер (Holder, 1924), стр. 487]. Полья подчеркивает: «Вы должны угадать математическую теорему, прежде чем вы ее докажете» [(1954), т. 1, стр. VI].
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 391 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!