Б) Рожденное доказательством понятие против наивного. Теоретическая классификация против наивной

Пи. Давайте вернемся к рожденной доказательством теореме «Все простые многогранники с односвязными гранями будут эйлеровыми». Эта формулировка может ввести в заблуждение. Нужно так: «Все простые объек­ты с односвязными гранями будут эйлеровыми».

Гамма. Почему?

Пи. Первая формулировка заставляет думать, что класс простых многогранников, встречающихся в этой теореме, является подклассом класса «многогранников» наивной до­гадки.

Сигма. Конечно, класс простых многогранников бу­дет подклассом многогранников. Понятие «простого много­гранника» сужает первоначальный широкий класс мно­гогранников, ограничивая их теми, для которых выполня­ется первая лемма нашего доказательства. Понятие «про­стого многогранника с односвязными гранями» указывает на дальнейшее сужение первоначального класса...

Пи. Нет! Первоначальный класс многогранников содер­жал только те многогранники, которые были простыми и грани которых были односвязными. Омега ошибался, когда говорил, что включение лемм уменьшает содержание[151].

Омега. Но разве каждое включение лемм не исключа­ет контрапример?

Пи. Конечно, исключает; но контрапример был произ­веден расширением понятия.

Омега. Значит включение леммы сохраняет со­держание, как и устранение монстров?

Пи. Нет. Включение леммы увеличивает содер­жание; устранение же монстров нет.

Омега. Что? Вы действительно хотите убедить меня, что включение леммы не только не уменьшает содер­жания, но даже, что оно увеличивает его? Что вме­сто сужения понятий оно их расширяет?

Пи. Совершенно верно. Послушайте. Был ли элемен­том первоначального класса многогранников глобус, на котором нарисована политическая карта?

Омега. Конечно, нет.

Пи. Но он сделался им после доказательства Коши. Потому что вы без малейшего затруднения можете выпол­нить на нем доказательство Коши — если только на нем нет кольцеобразных стран или озер[152].

Гамма. Это верно! Если вы надуете многогранник в шар и измените ребра и грани, вы ничуть не помешаете выполнению доказательства — пока искажение не изменит числа вершин, ребер и граней.

Сигма. Я вижу, что вы хотите сказать. Тогда рож­денный доказательством «простой многогранник» будет не только сужением, спецификацией, но также и обобще­нием, распространением наивного «многогран­ника»[153]. Идея такого обобщения понятия многогран­ника, чтобы оно могло включить смятые, криволиней­ные «многогранники» с искривленными гранями, вряд ли могла прийти кому-нибудь в голову до доказатель­ства Коши; даже если бы это случилось, то идея была бы отброшена как причуда. Но теперь это является естествен­ным обобщением, так как операции нашего доказательства могут быть для них истолкованы так же хорошо, как и для обыкновенных простых многогранников с прямыми ребрами и плоскими гранями[154].

Пи. Хорошо. Но вам придется сделать еще один шаг. Рожденные доказательством понятия не представляют ни «спецификаций», ни «обобщений» наив­ных понятий: напор доказательств и опровержений на на­ивные понятия еще более революционен, чем это — они полностью уничтожают основные наивные понятия и заменяют их понятиями, рожденными доказательст­вом[155]. Наивный термин «многогранник», даже после его расширения опровергателями, обозначал нечто похожее на кристалл, тело с «плоскими» гранями и прямыми реб­рами. Идеи доказательства полностью проглотили и пере­варили это наивное понятие. В различных теоремах, рож­денных доказательством, от этого наивного понятия ниче­го не осталось. Оно бесследно исчезло. Вместо этого каж­дое доказательство выявляет его характерные, рожденные доказательством понятия, которые касаются возможностей быть растянутым, надутым, фотографированным, проек­тированным и тому подобное. Старая задача исчезла, поя­вились новые. После Колумба не следует удивляться, если человек не решает ту задачу, которую он поставил себе для решения.

Сигма. Таким образом «теория твердых тел», — пер­воначальное «наивное» царство эйлеровой догадки,— ис­чезает, новая переработанная догадка проявляется в про­ективной геометрии, когда ее доказал Жергонн, в анали­тической топологии, когда ее доказал Коши, в алгебраиче­ской топологии, когда ее доказал Пуанкаре...

Пи. Совершенно верно. И теперь вы поймете, почему я не формулирую теоремы, как Альфа или Бета: «Все жергонновы многогранники являются эйлеровыми», «Все многогранники Коши являются эйлеровыми» и так далее, но скорее так: «Все жергонновы объекты являются эйле­ровыми», «Все объекты Коши являются эйлеровыми» и так далее[156]. Таким образом, я не считаю воз­можным ссориться не только из-за точности наивных понятий, но также из-за истинно­сти или ложности наивных догадок.

Бета. Но, конечно, мы можем сохранить термин «многогранник» для нашего излюбленного, рожденного до­казательством термина, например, «объектов Коши»?

Пи. Если хотите, но помните, что ваш термин уже не обозначает более того, для обоз­начения чего он был выдуман, что наивное по­нимание исчезло и что теперь он употребляется...

Бета... для более общего, исправленного понятия!

Тета. Нет! Для совершенно отличного, нового поня­тия.

Сигма. Я думаю, что ваши взгляды парадоксальны!

Пи. Если под парадоксальным вы понимаете «мнение пока еще не общепризнанное»[157], и возможно несовмести­мое с некоторыми из ваших укоренившихся наивных идей, то не беспокойтесь: вам только придется ваши наивные идеи заменить парадоксальными. Это может быть спосо­бом «решения» парадоксов. Но какое частное мое мнение вы имеете в виду?

Сигма. Вы помните, мы нашли, что некоторые звезд­чатые многогранники являются эйлеровыми, другие же нет. Мы искали доказательства, которое было бы доста­точно глубоким для объяснения эйлеровости как обыкно­венных, так и звездчатых многогранников...

Эпсилон. У меня оно есть[158].

Сигма. Я знаю. Но для целей аргументации предста­вим, что у нас такого доказательства не имеется, но что в добавление к доказательству Коши для «обыкновенных» эйлеровых многогранников кто-то предлагает соответст­венное, но совершенно различное, доказательство для эй­леровых звездчатых многогранников. Захотели бы вы тог­да, Пи, вследствие этих двух различных доказательств, предложить разбиение на два того, что мы ранее класси­фицировали как нечто единое? И захотели ли вы также объединить под одним именем две совершенно различные вещи только вследствие того, что кто-то нашел общее объ­яснение для некоторых из их свойств?

Пи. Конечно, я так бы и сделал. Ясно, что я не захо­тел бы назвать кита рыбой, или радио — шумовым ящиком (как могут назвать туземцы), но я не выхожу из себя, когда физик назовет стекло жидкостью. Действительно наивную классификацию прогресс заменяет теоретической классификацией, т. е. классифика­цией, рожденной теорией (доказательством или, если хоти­те, объяснением). И догадки, и понятия одинаково должны пройти через чистилище доказательств и опровержений. Наивные догадки и наивные понятия за­меняются исправленными догадками (тео­ремами) и понятиями (рожденными дока­зательством или теоретическими), выра­стающими из метода доказательств и опро­вержений. И как теоретические идеи и понятия вы­тесняют наивные идеи и понятия, так и теоретический язык вытесняет наивный[159].

Омега. В конце концов от наивной, случайной, чисто номинальной классификации мы придем к окончательной, истинной, реальной классификации, к совершенному языку[160].