Введение. В истории мысли часто случается, что при появлении но­вого мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач

В истории мысли часто случается, что при появлении но­вого мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом могут быть реше­ны, в то время как все остальное игнорируется, даже забы­вается, а изучением его пренебрегают.

Именно это как будто произошло в нашем столетии в области философии математики в результате стремитель­ного развития метаматематики.

Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул, опреде­ления — «сокращенными выражениями», которые «тео­ретически необязательны, но зато типографически удобны»[1].

Такая абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методоло­гии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержатель­ной» математике и ее развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной* логики и решения математических задач.

Школу математической философии, которая стремится отождествить математику с ее метаматематической абстракцией (а философию математики — с метаматемати­кой), я буду называть «формалистской» школой. Одна из самых отчетливых характеристик формалистской позиции находится у Карнапа (1937)[2]. Карнап требует, чтобы (а) философия была заменена логикой науки..., но (в) «логи­ка науки представляет не что иное, как логический син­таксис языка науки»..., (с) «метаматематика же является синтаксисом математического языка» (стр. XIII и 9). Итак, философию математики следует заменить метамате­матикой.

Формализм отделяет историю математики от филосо­фии математики, так как согласно формалистскому по­ниманию математики, собственно говоря, истории матема­тики не существует. Любой формалист целиком будет со­гласен с замечанием Рассела, высказанным «романтиче­ски», но сделанным вполне серьезно, что «Законы мысли» Буля (Boole, 1854) были «первой книгой, когда-либо напи­санной по математике»[3]. Формализм отрицает статус ма­тематики для большей части того, что обычно понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об ее «развитии». Ни один из «творческих» периодов и вряд ли один из «критических» периодов математических теорий может быть допущен в формалистическое небо, где мате­матические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной недостоверности. Однако формали­сты обычно оставляют открытым небольшой черный ход для падших ангелов; если для каких-нибудь «смесей мате­матики и чего-то другого» окажется возможным построить формальные системы, «которые в некотором смысле вклю­чают их», то они могут быть тогда допущены. При таких условиях Ньютону пришлось прождать четыре века, пока Пеано, Рассел и Куайн (Quine) помогли ему влезть на небо, формализовав его исчисление бесконечно малых. Дирак оказался более счастливым: Шварц спас его душу еще при его жизни. Может быть, мы должны упомянуть здесь парадоксальное затруднение метаматематика: по форма­листским или даже по дедуктивистским стандартам он не является честным математиком. Дьёдонне говорит об «абсо­лютной необходимости для каждого математика, который заботится об интеллектуальной че­стности (выделение мое.— Авт.), представлять свои рассуждения в аксиоматической форме» (1939, стр. 225).

При современном господстве формализма невольно впадаешь в искушение перефразировать Канта: история математики, лишившись руководства философии, сдела­лась слепой, тогда как философия математики, повернув­шись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделалась пустой.

«Формализм» представляет крепость логической пози­тивистской философии. Если следовать логическому пози­тивизму, то утверждение имеет смысл только, если оно является «тавтологическим» или эмпирическим. Так как содержательная математика не является ни «тавтологиче­ской», ни эмпирической, то она должна быть бессмыслен­ной, она — чистый вздор[4]. Догматы логического позити­визма гибельны для истории и философии мате­матики.

Целью этих статей является подход к некоторым про­блемам методологии математики. Я употреб­ляю слово «методология» в смысле, близком к «эвристи­ке»[5] Полья и Бернайса и к «логике открытия» или «ситуа­ционной логике» Поппера[6]. Недавняя экспроприация тер­мина «методология математики» для использования в ка­честве синонима «метаматематики» имеет несомненно формалистский привкус. Это показывает, что в формали­стской философии математики нет настоящего места для методологии как логики открытия[7]. Если верить формалистам, то математика будет тождественна формализован­ной математике. Но что можно открыть в формализо­ванной теории? Два ряда вещей. Во-первых, можно от­крыть решение задач, которые машина Тюринга при подхо­дящей программе может решить за конечное время (как, например, будет ли некоторое предложенное доказатель­ство действительно доказательством или нет?). Ни один математик не заинтересован в том, чтобы следить за этим скучным механическим «методом», предписываемым про­цедурами такого решения. Во-вторых, можно найти ре­шения задач вроде: будет ли теоремой или нет некоторая формула теории, в которой не установлена возможность окончательного решения, где можно руководствоваться только «методом» неуправляемой интуиции и удачи.

Так вот, для живой математики непригодна эта мрач­ная альтернатива машинного рационализма и иррацио­нального отгадывания вслепую[8]. Исследование нефор­мальной математики дает творческим математикам бо­гатую ситуационную логику, которая не будет ни механи­ческой, ни иррациональной, но которая никак не может получить признания, тем более поощрения формалист­ской философии.

История математики и логика математического откры­тия, т. е. филогенез и онтогенез [9] математической мысли, не могут быть развиты без критицизма и окончательного отказа от формализма.

Но формалистская философия математики имеет очень глубокие корни. Она представляет последнее звено в длин­ной цепи догматистских философий математики. Ведь уже более двух тысяч лет идет спор между догматиками и скептиками. Догматики утверждают, что силой нашего человеческого интеллекта и чувств, или только одних чувств, мы можем достичь истины и узнать, что мы ее достигли. Скептики, с другой стороны, или утверждают, что мы совершенно не можем достичь истины (разве толь­ко при помощи мистического эксперимента), или что если даже сможем достичь ее, то не можем знать, что мы ее достигли. В этом большом споре, в котором время от вре­мени аргументы осовременивались, математика была гор­дой крепостью догматизма. Всякий раз, когда математи­ческий догматизм попадал в «кризис», какая-нибудь новая версия снова придавала ему подлинную строгость и насто­ящие основы, восстанавливая образ авторитарной, непо­грешимой, неопровержимой математики — «единственной науки, которую Бог захотел дать человечеству» (Гоббс, 1651). Большая часть скептиков примирилась с непри­ступностью этой крепости догматистской теории позна­ния[10]. Бросить этому вызов — давно уже стало необходи­мым.

Цель этого этюда и есть этот вызов математическому формализму, но это не прямой вызов основным положениям математического догматизма. Наша скромная цель состо­ит в установлении положения, что неформальная квази­эмпирическая математика не развивается как монотонное возрастание количества несомненно доказанных теорем, но только через непрерывное улучшение догадок при по­мощи размышления и критики, при помощи логики дока­зательств и опровержений. Поскольку, однако, метаматематика представляет парадигму неформальной квазиэмпирической математики и в настоящее время находится в быстром росте, то эта статья тем самым бросает вызов со­временному математическому догматизму. Исследователь недавней истории метаматематики найдет на его собствен­ном поле описанные здесь образцы.

Диалогическая форма должна отразить диалектику рассказа; она должна содержать своего рода рациональ­но реконструированную или «дистиллиро­ванную» историю. Реальная история будет звучать в подстрочных примечаниях, боль­шая часть которых поэтому должна быть рассматриваема как органическая часть статьи.