Момент импульса тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно оси на угловую скорость вращения тела относительно этой оси

Уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ, имеет вид:

.

Если тело в процессе вращения не деформируется то его момент инерции , и уравнение динамики вращательного движения тела относительно оси преобразуется к виду

.

,

где – проекция вектора углового ускорения на ось вращения.

Угловое ускорение твёрдого тела относительно оси Z пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела

.

Момент инерции тела I является мерой инертности вращательного движения тела твёрдого тела.

Момент инерции твёрдого тела относительно оси в случае непрерывного распределения массы можно вычислить по формуле:

,

где – плотность тела, – расстояние от элементарного объёма до оси вращения. В случае однородного тела и момент инерции

.

1. Момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси вращения ОО', перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (рис.7), , где m – масса стержня, – длина стержня.

2. Момент инерции однородного диска (цилиндра) массой m и радиусом R относительно оси вращения ОО', перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его геометрический центр (рис.8), .

3. Момент инерции тонкого однородного кольца массой m и радиусом R относительно оси ОО', перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его геометрический центр (рис.9, а); относительно оси ОО'', совпадающей с диаметром, (рис.9, б).

4. Момент инерции однородного шара относительно оси ОО', проходящей через его геометрический центр (рис.10), , где – масса шара, – радиус шара.

Другие примеры значений моментов инерции тел простой геометрической формы приведены в приложении 1.

Величина момента инерции тела определяется положением оси вращения. В практических задачах часто встречаются случаи, когда требуется вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси вращения. Это можно сделать с помощью теоремы Штейнера.

Момент инерции тела I относительно произвольной оси АА' (рис. 11) равен сумме момента инерции тела относительно оси ОО', проходящей через центр инерции и параллельной оси АА', и произведению массы тела на квадрат расстояния d между осями ОО' и АА'

.