Элементы линейной алгебры

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

Тема. Матрицы и определители.

Матрицы, основные понятия, действия над матрицами.

Рассмотрим таблицу вида:

.

Эта таблица, состоящая из двух строк и двух столбцов, называется матрицей (причем второго порядка). Числа с двумя индексами , , , называются элементами матрицы. Первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Матрица, состоящая из одинакового числа строк и столбцов называется квадратной. Число строк и столбцов квадратной матрицы называется ее порядком. Квадратная матрица - го порядка имеет вид:

.

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ матрицы, составленная из элементов .

Симметрической матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу, то есть .

Пример 1:

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, не находящиеся на главной диагонали, равны нулю.

Пример 2: .

Треугольной (наддиагональной) называется квадратная матрица, если из следует .

Мономиальной называется квадратная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой стоит лишь один элемент, отличный от нуля.

Единичной называется диагональная матрица, у которой каждый элемент, находящийся на главной диагонали, равен единице.

Пример 3: .

Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы равны нулю и обозначают или .

Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов.

Матрицы могут быть и прямоугольными, имеющими строк и столбцов, например, .

Матрица, имеющая только одну строку, называется матрицей-строкой, например, , а матрица, имеющая только один столбец, называют матрицей-столбцом, например: .

Матрицы и называются равными, если они имеют одно и то же число строк и одно и то же число столбцов (то есть, если они одного размера) и если при этом каждый элемент матрицы равен соответствующему элементу матрицы .

;

.

Суммой матриц и , имеющих одинаковое число строк и столбцов

; ,

называется третья матрица

,

каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц, то есть .

Сумма матриц обозначается так .

Аналогично определяется разность матриц: , где .

Пример 4: ; ; , где .

Произведение числа на матрицу называется матрица, определяемая равенством: и получаемая из умножением всех ее элементов на . Обозначается .

Пусть заданы две матрицы и , причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если

, ,

то матрица

,

где называется произведением матрицы на и обозначается .

Правило умножения матриц можно сформулировать так: чтобы получить элемент, стоящий в -ой строке и -ом столбце произведения двух матриц, нужно элементы -ой строки первой матрицы умножить на соответственные элементы -го столбца второй и полученные произведения сложить. В результате умножения получается матрица, имеющая столько строк, сколько у матрицы множимого и столько столбцов, сколько у матрицы множителя.

Пример 5: ; .

.

Пример 6:

.

Произведение матриц зависит от порядка сомножителей. Причем, если рассматривать матрицы не квадратные, то может случиться даже, что произведение двух матриц в одном порядке будет иметь смысл, а в обратном – нет.

Но, даже для квадратных матриц произведение матриц некоммутативно, то есть не подчиняется переместительному закону.

Пример 7: ,

,

очевидно, что .

Если же , то матрицы и называются коммутирующими друг с другом.

Пример 8: , .

Единичная матрица коммутативна с любой матрицей: .