Четность

Мы получили, что волновые функции стационарных состояний осциллятора являются или четными или нечетными. Оказывается, этот результат можно было предсказать заранее, не решая задачу. Сделаем в этой связи отступление, которое представляет и значительный самостоятельный интерес.

Рассмотрим преобразование пространственной инверсии системы координат

r ® r ’ = - r

и введем оператор пространственной четности , действующий на волновые функции в координатном представлении по закону

Y (r) = Y (- r).

Рассмотрим теперь функцию

j(r) = (r) Y (r)

и подействуем на нее оператором :

j(r) = ,

откуда

(r) = (- r) .

В частности, если гамильтониан есть четная функция r, а для этого достаточно, чтобы таковой была потенциальная энергия:

V (- r) = V (r) Þ (- r) = (r),

то из предыдущего он будет коммутировать с оператором четности:

[ , ] = 0,

а значит будет интегралом движения.

Докажем, что оператор описывает некоторую динамическую переменную (она называется пространственной четностью). Для этого надо доказать, что он эрмитов. Имеем:

(Y(r), Y(r)) = Y^*(r) Y(r)d V =

= Y^*(r) Y(- r)dV Y^*(- r) Y(r)d V =

= { Y^*(r)}^* Y(r)d V =( Y,Y),

что и утверждалось. Найдем возможные значения этой наблюдаемой, т.е. собственные значения P оператора :

Y _p = PY_p.

Действуем еще раз оператором :

{ Y _p (r)} = { P Y _p ()}.

Слева получим

{ Y _p (r)} = Y _p (- r) = Y _p (r),

а справа

{ P Y _p (r)} = P { Y _p (r)} = P { P Y _p (r)} = P ²Y _p (r).

Таким образом,

Y _p (r) = P ²Y _p (r),

откуда

P = ± 1.

Таким образом, у оператора имеется лишь два собственных значения, которым соответствуют четные и нечетные собственные функции:

P = +1: Y ₊ (- r) = + Y ₊ (r),

P = -1: Y _- (- r) = - Y _- (r).

Эти собственные значения также называются четностью (пространственной, так как в физике элементарных частиц используют и другие четности).

Если четность есть интеграл движения, т.е.

[ , ] = 0,

(см. выше), то из

Y _E = E Y _E

следует

( Y _E) = ( ) Y _E = ( )Y _E = ( Y _E) = ( Y _E)

Таким образом, если Y _E - волновая функция стационарного состояния с энергией , то таковой будет и функция Y _E. Если энергетический спектр простой (невырожденный), т.е. если каждому отвечает одна (с точностью до множителя) волновая функция, то и Y _E должны быть пропорциональны друг другу:

Y _E = P Y _E,

а это значит, что Y _E есть собственная функция оператора , т.е. обладает определенной четностью.

Вывод: если гамильтониан есть четная функция координат, то он коммутирует с оператором , т.е. - интеграл движения; если к тому же энергетический спектр - простой, то каждое стационарное состояние обладает определенной четностью, т.е. его волновая функция или четна, или нечетна.

Для одномерного гармонического осциллятора все условия выполняются: потенциальная энергия четна, а энергетический спектр - простой (в одномерном случае дискретный спектр всегда простой). Поэтому волновые функции стационарных состояний осциллятора - четные или нечетные.