Ранг-полином графа

Ранг графа определяется как , где n – число вершин, k – число компонент связности графа. Коранг графа, или цикломатический ранг, есть , где m – число ребер.

Ранг-полином графа G имеет вид

,

где – ранг графа G, а – коранг остовного (т.е. включающего в себя все вершины графа) подграфа H, а – его ранг. Суммирование ведется по всем остовным подграфам графа G.

Ранг полином служит для анализа множества остовных подграфов. Так, например, коэффициент при в есть число подграфов размера k, а значение равно числу подграфов (включая несобственный подграф), ранг которых равен рангу самого графа.

Пример 12.8. Найти ранг-полином графа, изображенного на рис. 12.8.

Решение. Найдем все 16 остовных подграфов графа G (рис. 12.9). Множество представим в виде четырех графов размера 1 (т.е. с одним ребром), шести графов размера 2, четырех графов размера 3 и двух несобственных графов (пустой граф и граф G).

Рис. 12.9

Учитывая, что ранг графа равен 3, получаем сумму:

Циклы

Маршрут, в котором начало и конец совпадают, – циклический. Циклический маршрут называется циклом, если он – цепь.

Остовом графа G называется граф, не содержащий циклов и состоящий из ребер графа G и всех его вершин. Остов графа определяется неоднозначно.

Ребра графа, не входящие в остов, называются хордами. Цикл, получающийся при добавлении к остову графа его хорды, называется фундаментальным относительно этой хорды.

Теорема 12.11. Число ребер неографа, которые необходимо удалить для получения остова, не зависит от последовательности их удаления и равно цикломатическому рангу графа.

Пример 12.8. По заданной матрице смежности:

,

определить число циклов длины 3 () и длины 4 (). Записать матрицу фундаментальных циклов.

Решение. Матрица смежности данного графа симметричная, поэтому ей соответствует неориентированный граф. Сумма ненулевых элементов матрицы равна 12, следовательно, по лемме о рукопожатиях в графе 6 ребер. Построим этот граф (рис. 12.10). Очевидно, в нем два цикла (3–4–5 и 1–3–5) длиной 3 и один цикл (1–3–4–5) длиной 4. В данной задаче решение получено прямым подсчетом по изображению графа. Для более сложных случаев существует алгоритм решения задачи по матрице смежности.

Известно, что след (trace) матрицы смежности, возведенный в k -ю степень, равен числу циклических маршрутов длины k (см. теорему 12.4). Это число включает в себя и искомое число циклов. Цикл отличается от циклического маршрута тем, что в нем не повторяются ребра. Кроме того, предполагается, что искомые циклы не помечены, а в след матрицы входят именно помеченные маршруты.

Рис. 12.10

Непомеченных циклов длиной 3 в 6 раз меньше, чем помеченных, так как каждый помеченный цикл может отличаться началом (а их в данном случае три) и двумя направлениями обхода (по и против часовой стрелки). Возведем заданную матрицу смежности в третью степень:

,

и получим

.

Поскольку циклических маршрутов длиной 3, отличных от циклов длиной 3, не существует, найденное число и есть ответ в поставленной задаче.

С циклами длиной 4 немного сложнее. В след четвертой степени матрицы смежности графа

,

входят не только циклы, но и циклические маршруты с двойным и четырехкратным прохождением ребер. Обозначим количество таких маршрутов через и соответственно. Очевидно, число маршрутов с четырехкратным прохождением одного ребра для вершины равно степени этой вершины: . Число маршрутов с двукратным прохождением ребра складывается из числа с висячей вершиной и числа маршрутов с вершиной в центре.

Легко заметить, что . Число зависит от степеней вершин, соседних с :

,

где – ребро, инцидентное вершинам i и k.

Для графа на рис. 12.10 получим

,

,

,

.

С учетом того, что непомеченных циклов длиной 4 в 8 раз меньше, получим

.

После преобразований формула примет вид

.

Для нахождения матрицы фундаментальных циклов пронумеруем ребра графа, начиная нумерацию с хорд, как показано на рис. 12.11 (а).

Рис. 12.11

Двум хордам, 1 и 2, соответствуют два фундаментальных цикла: 1–4–5 и 2–4–6 (рис. 12.11 (б и в)). Матрица фундаментальных циклов имеет две строки (число циклов) и шесть столбцов (число ребер).

В первой строке матрицы единицами отмечены столбцы с номерами ребер, входящих в первый цикл, а во второй строке – номера ребер из второго цикла.