Система – активное средство достижения цели операции. Критерий

«эффективность-стоимость»

Любая задача исследования эф­фективности предполагает измерение всех учитываемых факторов. Без этой формальной процедуры нельзя создать модель, адекватно отображающую реальную ситуацию, а следовательно, и получить сколько-нибудь значимые для практики результаты. И тем не менее при разработке моделей исследования эффективности операций (техниче­ских систем) этим вопросам уделяется незаслуженно малое внимание. Не­редко считается, что введенные в мо­дель факторы уже измерены неизве­стным и нерассматриваемым способом. В результате даже самые совершенные модели неспособны нормально, а за­частую и вообще функционировать из-за отсутствия взаимоувязанных про­цедур объективных и субъективных измерений показателей, характери­зующих разнообразные по своей при­роде факторы, подлежащие учету при исследовании эффективности реаль­ных операций.

Методы теории эффективности, и это закономерно, ориентированы на широкое использование всего арсе­нала возможностей современного математического аппарата и вычисли­тельной техники. Реализация этих возможностей немыслима без число­вого представления всех видов информации о факторах, существенно влияющих на результаты исследова­ний. Поэтому одна из главных про­блем измерения в теории эффектив­ности — унификация измерений все­возможных объектов с использованием числовой системы, позволяющей соз­дать общую формальную схему как объективных, так и субъективных из­мерений. В решении этой важной за­дачи ведущая роль принадлежит теории измерений.

При исследовании эффективности потребность в измерении обусловлена необходимостью выразить в числовой мере различные отношения между объ­ектами с тем, чтобы при определении отношений между ними оперировать не с самими объектами, а с соответству­ющими этим отношениям числовыми мерами. Например, для установления отношения массы между телами нет необходимости сопоставлять сами тела, а достаточно сопоставить най­денные путем измерений значения чис­ловой меры для этих тел, поскольку масса как физическая характеристика тела выражена в определенной число­вой мере.

В процессе исследования эффектив­ности ЛПР эксперты, исследователи формируют различные объекты (ситу­ации, цели, ограничения, стратегии, предпочтения, события, предметы, явления и т. д.) и измеряют их. Эти измерения могут быть субъективными или объективными, носить качествен­ный или количественный характер. Субъективные измерения осуще­ствляет человек, поэтому на их резуль­тат влияет психология мышления ин­дивида, его знания, опыт и многие другие свойства личности. Объектив­ные качественные или количествен­ные измерения осуществляются измерительными приборами, действие которых основано на использовании физических законов.

Под измерением понимается про­цедура сравнения объектов по опре­деленным показателям (признакам). В качестве показателей сравнения объ­ектов используют пространственные, временные, физические, функци­ональные, экономические, социоло­гические и другие свойства и харак­теристики объектов (например, пока­затели надежности технической си­стемы, показатели эффективности операции и др.). Процедура сравнения включает определение отношений ме­жду объектами и способ их сравнения. Если введены конкретные показатели сравнения, то можно установить отно­шения между объектами (например, больше, меньше, равны, предпочти­тельнее и т. д.). Способы сравнения объектов между собой могут быть различными, например, последовательно с одним объектом, принима­емым за эталон, или друг с другом в упорядоченной или произвольной последовательности.

Отношение является математиче­ской категорией, поэтому понятию измерения можно придать строгую форму. Для формального описания множества объектов и отношений ме­жду ними вводится понятие эмпири­ческой системы

,

где D = (d₁, d₂,..., d_n) — множество объектов, в качестве которых могут рассматриваться, например, факторы, стратегии, системы и т. п.; R^e=(R^e₁, R^e ₂ …, R ^e_m) — множество отношений между объектами.

Отношение является самой общей формой описания связей между объектами, частным случаем которого яв­ляется функция. Запись вида или (d_i, d_j.) означает, что объ­екты d_i и d_j находятся между собой в отношении . Такое отношение называется бинарным (двухместным), поскольку оно связывает между собой два объекта. Если отношение имеет место одновременно между тремя объ­ектами, то оно называется тернарным (трехместным), а если между n объек­тами, то n-нарным (n-местным).

При измерении широкое примене­ние находят некоторые типы бинарных отношений (эквивалентность, строгий порядок, квазипорядок, нестрогий порядок и др.), которые выделяются на основе рассмотрения таких свойств бинарных отношений, как рефлексив­ность, антирефлексивность, симме­тричность, антисимметричность.

Эмпирической системе ставится в соответствие числовая си­стема

,

где — множество действительных чисел;

— множество отношений между числами.

Числовая система называется пол­ной, если есть множество всех действительных чисел. Отношениям строгого и нестрогого порядка между объектами соответствуют отношения строгого и нестрогого неравенств ме­жду числами, а отношению эквивалент­ности между объектами — отношение равенства между числами.

Числовая система используется для унификации измерений. Измерение заключается в отображении объектов эмпириче­ской системы (причем объекты, пока­затели сравнения и виды отношений могут быть самыми разнообразными) на множество чисел таким образом, чтобы отношения между числами, ото­бражающими объекты, сохраняли отношения между объектами.

Числовая система сохраняет свой­ства и отношения объектов, если она изоморфна или по крайней мере гомо­морфна эмпирической системе. Число­вая система изоморфна эмпирической системе, если они подобны и между ними существует взаимно-однозначное отображение (функция) ƒ объектов на множество чисел такое, что отноше­ние R^e между объектами имеет место тогда и только тогда, когда имеет место отношение между числами, отоб­ражающими объекты на числовой оси. Подобие двух систем с отношениями означает, что количество отношений и их местность в обеих системах оди­наковы.

В некоторых случаях условие вза­имной однозначности отображения ƒ является слишком жестким и не всегда необходимым. Заменив это условие в данном выше определении изомор­физма на условие однозначного соот­ветствия, придем к понятию гомомор­физма.

Таким образом, измерение пред­ставляет собой отображение объектов эмпирической системы на множество чисел в числовой системе. При этом каждому объекту эмпирической си­стемы с помощью отображения (функ­ции) ƒ приписывается число

c_i = ƒ (d_i).

Отношения между числами при таком отображении должны сохранять отношения между объектами. Например, если объект d_i предпочитается или равноценен объекту d_j (d_i ≥ d_j), то c_i= ƒ(d_i) ≥c_j= ƒ (d_j).

Основными проблемами теории измерений являются проблемы пред­ставления и единственности. Первая из этих проблем состоит в доказатель­стве возможности представления эмпирической системы с помощью чис­ловой системы, сохраняющей отно­шения между объектами, то есть изо­морфной или гомоморфной. В теории измерений доказано существование числовых систем для описания мно­жества объектов, связанных отноше­ниями эквивалентности, строгого и нестрогого порядков.

Проблема единственности состоит в определении всех возможных спосо­бов представления данной эмпириче­ской системы различными числовыми системами и установления связи между ними. Эту проблему можно сформу­лировать как проблему определения типа шкалы.

Шкалой называется совокупность эмпирической системы S^e, числовой системы S^H и отображения ƒ, то есть шкала задается тройкой .

Пусть W — некоторый показатель для выражения отношения между объ­ектами D (например, W — показатель эффективности технической системы; D — некоторое множество техниче­ских систем); (S^e, S^H, ƒ₁) и (S^e, S^H, ƒ₂) — две шкалы, различающиеся отображениями ƒ₁ и ƒ₂. Тогда W₁ = ƒ₁ (d_i) и W₂ = ƒ₂ (d_i) — числовые значения показателя W, полученные для объекта d_i, — эмпирической системы соответственно с помощью отображе­ний ƒ₁ и ƒ₂.

Возникает вопрос о взаимосвязи числовых значений W₁ и W₂, полученных при отображении одного и того же объекта d_i, но в разных шкалах. Обозначим через φ (W) функцию, уста­навливающую связь между значени­ями W₁ и W₂ показателя W, то есть W₁ = φ (W₂). Функцию φ (W) называют допустимым преобразованием шкалы показателя W, если эта функ­ция служит для выражения того же отношения между объектами, что и показатель W.

С помощью функции допустимого преобразования φ (W) можно описать связь между любыми числовыми си­стемами, выбираемыми для одной и той же эмпирической системы по пока­зателю W. Поскольку свойства этой функции характеризуют взаимосвязь между числовыми системами, то ее можно использовать для описания по­нятия единственности отображения.

Множество Ф всех допустимых пре­образований шкалы показателя W определяет тип этой шкалы. В этом случае говорят, что показатель W имеет шкалу типа Ф или что показа­тель W измеряется в шкале типа Ф. Шкала считается тем совершенней, чем уже множество допустимых ее преобразований.

Каждый тип шкалы имеет свою ин­формативность и свой класс допусти­мых преобразований, за пределы которого нельзя выходить без риска получить ошибочные или бессмыслен­ные результаты. Особое значение это замечание имеет при исследованиях эффективности операций, которая зависит от большого числа различных по характеру и природе факторов, сложным образом связанных и взаимо­действующих между собой.

При измерении показателей наи­большее распространение получили метрические, порядковые и номинальные шкалы. Среди метрических шкал выделяют абсолютные шкалы, шкалы отношений и интервальные шка­лы. Рассмотрим перечисленные типы шкал в порядке возрастания их со­вершенства.

Номинальная (классификационная) шкала, или шкала наименований, — это наименее совершенная, простей­шая, по существу, качественная шкала. Ее применяют для описания принад­лежности объектов к определенным классам; она сохраняет отношение эк­вивалентности и различия между объектами. В этой шкале число ис­пользуют лишь для обозначения и вы­деления объекта: всем объектам одного и того же класса присваивают одно и то же число, а объектам разных классов — разные числа. Однако пред­почтение между объектами не уста­навливается.

Поскольку существует большое число вариантов присвоения чисел классам эквивалентных объектов, то понятие единственности отображения ƒ состоит для шкалы наименований во взаимооднозначности допустимого пре­образования φ. Поэтому множеством допустимых преобразований показа­теля, имеющего номинальную шкалу, являются все виды функциональных преобразований, обладающие свой­ством однозначности:

.

Таким образом, номинальная шкала единственна с точностью до взаимо­однозначности соответствия. Это озна­чает, что в данной шкале отсутствуют понятия масштаба и начала отсчета.

Класс показателей, которые имеет смысл измерять в номинальной шкале, весьма узок. К таким показателям относятся, например, различные ре­шающие правила распознавания обра­зов, используемые для того, чтобы определить, соответствует ли данный образец эталону или нет. В этой шкале также измеримы любые пороговые функции, назначение которых — уста­новить в бинарном коде «да — нет» принадлежность объекта заданному классу (типу, разновидности). Обычно шкалу наименований используют для индексации видов продукции, типов машин, номенклатуры изделий (спе­цификация изделий), нумерации под­разделений в организации и т. п.

Порядковая (ранговая) шкала более совершенна, чем номинальная. Ее при­меняют для измерения упорядоченно­сти объектов по одному или совокуп­ности признаков. Числа в ней опреде­ляют только порядок следования объек­тов, но не позволяют утверждать, во сколько или на сколько один объект предпочтительнее другого. Для по­рядковой шкалы допустимое преобра­зование φ является любым монотон­ным преобразователем, поэтому эта шкала единственна для монотонного преобразования. Множество допусти­мых преобразований показателя, имеющего порядковую шкалу, состоит из всех монотонно возрастающих функций:

.

Показатели, измеримые в порядко­вой (ранговой) шкале, значительно информативнее показателей, измери­мых в номинальной шкале, так как позволяют судить об отношениях типа «лучше — хуже», «больше — меньше», существующих между объектами. Од­нако в этой шкале также отсутствуют понятия масштаба и начала отсчета, поэтому значения показателей W₁ и W₂, измеренные в порядковой шкале, не позволяют ответить на вопросы типа: «на сколько (во сколько раз) один объект лучше, важнее другого?».

Наибольшее распространение поряд­ковые шкалы получили при методах обработки экспертной информации о сравнительных оценках качествен­ных свойств объектов. Оценки такого рода даются в баллах, а сами шкалы часто называют балльными. Балльным оценкам всегда присущ субъективизм, но его доля может быть различной. С этой точки зрения различают два вида балльных оценок: при наличии общепринятого эталона и при отсут­ствии такового.

Шкалу интервалов применяют для отображения различия между свой­ствами объектов. Эта шкала может иметь произвольные точки отсчета и масштаб. Множество допустимых пре­образований показателя, имеющего шкалу интервалов, состоит только из всех линейных функций вида φ (W) = aW + b, где а > 0, b — произ­вольное число, то есть

.

Следовательно, шкала интервалов единственна с точностью до линейного преобразования.

Конкретное измерение показателя в шкале интервалов осуществляется при фиксированных величинах а (мас­штаб, задающий единицу измерения) и b (начало отсчета). Основным свой­ством шкалы интервалов, определяю­щим ее название, является сохране­ние отношения интервалов при допустимом преобразовании шкалы. В этой шкале отношение разности чисел в двух числовых системах определяется мас­штабом измерения.

В шкале интервалов измеряются, например, сроки выполнения различ­ных работ, гарантийные сроки службы узлов, агрегатов, машин и т. п., дата выпуска изделия, начало операции и все другие показатели, для измерения которых необходимо фиксировать мас­штаб и начало отсчета.

Шкала отношений является частным случаем шкалы интервалов при выборе нулевой точки отсчета (b=0). Однако эта шкала более совершенна, чем шкала интервалов, так как для нее соответствующее множество Ф₀ всех допустимых преобразований состоит только из преобразований подобия:

.

В шкале отношений числа отражают отношения свойств объектов, то есть во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта. Измерения по этой шкале допускают сравнение не только самих значений показателей или их разностей, но и различных арифметических ком­бинаций этих значений, если, конечно, они имеют физический смысл.

Показатели, измеряемые в шкале отношений, наиболее распространены в технике, математике и, конечно, в теории эффективности. В качестве примеров таких показателей можно указать длину, массу, напряжение, стоимость и другие, для которых суще­ствует естественное начало отсчета (нулевая точка).

Абсолютная шкала — самая совер­шенная. В этой шкале принимается нулевая точка отсчета (b = 0) и еди­ничный масштаб (а = 1). Для абсо­лютной шкалы соответствующее мно­жество Ф_а допустимых преобразований состоит всего из одного элемента, представляющего собой тождественное преобразование, то есть

.

Это означает, что существует одно и только одно отображение объектов в числовую систему. Отсюда следует и название шкалы, так как для нее единственность отображения понимается в буквальном, абсолютном смы­сле.

В абсолютной шкале определяется, например, количество объектов (пред­метов, событий и т. п.), которое может быть измерено единственным образом с помощью ряда натуральных чисел. Примером абсолютных шкал являются шкала температур по Кельвину, шкала значений вероятности события и др.

Таким образом, показатели могут иметь шкалы различных типов. Это дает возможность дать более точное определение количественного и каче­ственного показателей.

Количественными показателями назы­вают такие показатели, которые имеют шкалу не менее совершенную, чем ин­тервальная. Качественными показате­лями называются такие показатели, которые имеют шкалу менее совершен­ную, чем интервальная.

Тип шкалы необходимо учитывать всегда, когда речь идет о том, какие действия имеет смысл осуществлять с числовыми значениями рассматри­ваемого показателя. В теории измере­ний эту проблему называют проблемой адекватности (осмысленности) число­вых утверждений. Суть ее состоит в том, что числовое утверждение пола­гают адекватным тогда и только тогда, когда его значение истинности инва­риантно относительно допустимых пре­образований шкалы.

Пусть, например, W — некоторый показатель, a W₁, W₂, W₃ — его число­вые значения, полученные в шкале интервалов, то есть φ (W) = a_W + b. Рассмотрим числовое утверждение W₁+W₂ > W₃ и определим его адек­ватность (осмысленность). В этом слу­чае

.

Очевидно, что это утверждение не­эквивалентно исходному, и поэтому при измерении W в шкале интервалов утверждение W₁+W₂ > W₃ не имеет смысла.

В то же время при измерении пока­зателя W в шкале отношений, то есть φ (W) = a_W, утверждение W₁ + W₂ > W₃, как можно видеть, является осмысленным.

Выбор той или иной шкалы для из­мерения определяется характером от­ношений между объектами эмпириче­ской системы, наличием информации и целями исследования. Применение количественных шкал требует значи­тельно более полной информации об объектах по сравнению с применением качественных шкал, а получение такой информации связано с затратами вре­мени и ресурсов. Поэтому, прежде всего, необходимо обращать внимание на правильное согласование выбираемой шкалы с целями исследования. Если, например, эта цель состоит в упорядо­чении объектов, то нет необходимости измерять количественные характери­стики объектов, достаточно определить только качественные характеристики.

Законы функционирования иссле­дуемых сложных систем могут быть изу­чены не столь тщательно и полно, чтобы по ним можно было легко определить класс допустимых преобразований и соответствующую ему шкалу того или иного показателя. В этих случаях целесообразней вначале использовать шкалу с максимально широким клас­сом допустимых преобразований, при котором значение показателей еще содержит информацию, необходимую для начального этапа решения постав­ленной задачи. В дальнейшем, по мере получения информации, можно уточ­нять класс допустимых преобразова­ний и переходить к более совершенным шкалам.

Необходимо различать первичные и производные от первичных измерения показателей. Последние называют еще косвенными измерениями. Они не зави­сят от эмпирической системы, а реали­зуются с помощью специальных вы­числительных процедур, позволяющих получать числовое значение показа­теля на основе преобразования по определенным алгоритмам или форму­лам числовых значений величин, по­лученных прямыми измерениями. При исследовании эффективности операций (технических систем) этот прием ис­пользуется очень широко.