N на 10: 9;1. Æ

Рассмотрим остатки от деления 13^z и 3^y на 8.

3^y на 8: 3; 1,

13^y на 8: 5; 1. Откуда у=2n, z=2k, имеем 13^2k-3²ⁿ=2^x Û

ì 13^k-3ⁿ=2^b,получаем 2×13^k=2^a+2^bÛ13^k=2^a-1(2^b-a+1),

Возможны результаты:

А) Противоречия, корней нет. Ответ: Æ

Б) Возможны корни, при некоторых

ограничениях.(Переходим к п.2)

2. Выбираем одну из переменных (обозначим ее с) и анализируем наличие корней при с=1, с=2,...с=q, с>q, учитывая полученные ранее ограничения.

Возможны результаты:

А) Получены противоречия, корней нет. Ответ.

Б) Отсев некоторых показателей, нахождение некоторых корней, доказательство, что при c>q корней нет. Ответ.

В) Новые ограничения. Нет доказательства отсутствия корней при c>q. (Переходим к п.3.)

3. Выбираем другую переменную и переходим к п.2.

А) Доказательство найдено. Ответ.

Б) Доказательство не найдено. Рассматриваем остатки от деления на другие числа.

С помощью теории делимости чисел можно легко показать, что уравнения вида b^x+(b+1)^y = a^z, где aÎN, bÎN, не имеют решения, например, если b или (b+1) имеет общий делитель с а. Всегда можно наложить существенные ограничения на показатели степеней. Затем, эти ограничения можно использовать при доказательстве другими методами или в дальнейшем анализе. Стоит заметить, что все решения тривиальны, возможно, справедливо утверждение: «max {x,y,z} <= max{a,b,c}, c ^x+b^y = a^z» Если удастся это доказать, то уравнения этого вида можно будет решать, простым перебором конечного числа вариантов.