Законы распределения случайных погрешностей

Случайные погрешности обнаруживают при проведении ряда измерений одной и той же величины. Результаты измерений при этом, как правило, не совпадают между собой, так как из-за суммарного воздействия множества различных факторов, не поддающихся учету, каждое новое измерение дает и новое случайное значение измеряемой величины. При правильном проведении измерений, достаточном их числе и исключении систематических погрешностей и промахов можно утверждать, что истинное значение измеряемой величины не выходит за пределы значений, полученных при этих измерениях. Оно остается неизвестным до тех пор, пока не определено теоретически вероятное значение случайной погрешности.

Пусть величину А измеряли п раз и наблюдали при этом значения а₁, а₂, а₃,…, а_i,…, а_n Случайная абсолютная погрешность единичного измерения определяется разностью

∆_i = а_i – A (2.3)

Графически результаты отдельных измерений представлены на рис. 2.1. При достаточно большом числе п одни и те же погрешности, если они имеют ряд дискретных значений, повторяются и поэтому можно установить относительную частоту (частость) их появления, т. е..

Рис. 2.1. Графическое изображение результатов измерений

отношение числа полученных одинаковых данных m_i к общему числу проведенных измерений п. При продолжении измерений величины А эта частота не изменится, поэтому ее можно считать вероятностью появления погрешности при данных измерениях P(∆_i) = m_i /n.

Статистическая зависимость вероятности появления случайных погрешностей от их значения называется законом распределения погрешностей. Для дискретных величин этот закон выражается в табличной форме или в виде линейной гистограммы (рис. 2.2). Вероятности появления погрешностей здесь пропорциональны длинам вертикальных линий; изображенные в определенном масштабе, эти линии в сумме дают единицу.

При очень большом числе измерений и высокой точности измерительных приборов погрешности ∆_i могут сколь угодно мало отличаться друг от друга. В этом случае следует рассматривать вероятность появления погрешности в каком-то интервале ∆δ их возможных значений, так как частость появления той или иной конкретной погрешности теряет смысл. Теперь закон распределения погрешностей можно представить в виде таблицы или гистограммы (рис. 2.3), на которой вероятность, изображается площадью, прямоугольника с основанием ∆δ. Общая площадь всей гистограммы соответствует вероятности, равной единице.

Рис. 2.2. Закон распределения дискретных

погрешностей Рис. 2.3. Гистограмма

Для каждого прямоугольника можно найти среднюю плотность вероятности погрешности, если взять отношение вероятности появления погрешности в данном интервале к значению самого интервала. При бесконечном возрастании числа измерений п интервал ∆δ беспредельно сужается и плотность вероятности P₁(∆) стремится к некоторому пределу

, (2.4)

где δP – вероятность появления погрешности в интервале от ∆_i до ∆_i +∆δ; ∆δ рассматриваемый интервал. Из выражения (2.4) легко определяется интегральная связь между вероятностью появления погрешности в некотором интервале от ∆₁ до ∆₂ и плотностью вероятности:

(2.5)

Здесь вероятность появления погрешности представляется в аналитической форме как непрерывная функция погрешности.

Некоторые встречающиеся на практике законы распределения погрешностей можно изобразить в виде графиков, приведенных на рис. 2.4. Особый интерес представляет наиболее часто встречающийся нормальный закон (закон Гаусса), основанный на следующих справедливых при большом числе измерений общих статистических закономерностях (аксиомах):

Рис. 2.4. Законы распределения погрешностей:а)

равновероятный, б) линейный, в) параболический,г) нормальный

— погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

— вероятность (частость) появления случайных погрешностей, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку, одинакова;

— вероятность (частость) появления малых случайных погреш­ностей. больше вероятности появления значительных (малые по­грешности встречаются чаще, чем большие).

Аналитическое выражение плотности вероятности или кривой нормального распределения случайных погрешностей называют формулой Гаусса или формулой ошибок. Эту формулу можно записать в виде:

(2.6)

где е — основание натуральных логарифмов; σ — средняя квадратическая погрешность ряда измерений, определяемая по формуле

(2.7)

При числе измерений — дисперсия.

Из выражения (2.6) следует, что средняя квадратическая погрешность а полностью определяет характер распределения случайных погрешностей; она показывает степень случайного разброса результатов отдельных измерений относительно истинного значения А малому значению σ соответствует - преобладание малых случайных погрешностей, а следовательно, и большая точность измерения данной величины и, наоборот, большому значению σ соответствует меньшая точность измерения.

Графически выражение (2.6) для различных значений σ можно представить колоколообразной кривой с максимальной плотностью вероятности

в точке ∆ = 0 (рис. 2.5). Вероятность того,

Рис. 2.5. Кривые нормального распределения случайных погрешностей при различных σ

что погрешность ∆ результата измерений находится между выбранными пределами ∆₁ и ∆₂ определяется с помощью выражения (2.5):

(2.8)

где α— доверительная вероятность, определяемая по таблицам (приложение 2) или из выражения:

(2.9)

где x = ∆/σ

Результаты расчетов для некоторых пределов приведены в табл. 2.1, где m_M и m_б – число измерений, имеющих абсолютную

Таблица 2.1

∆	mM / n,%	mб / n,%	nб∆	∆	mM / n	mб / n	nб∆
0,5000 σ 0,6745 σ 1,0000 σ			–	2,0000 σ 3,0000 σ 4,0000 σ	99,7 99,999	0,3 0,01

погрешность, меньшую и большую заданного значения ∆ соответственно; п — число единичных измерений; m_M / n и m_б / n — вероятности появления меньших и больших погрешностей, чем заданное значение ∆, %; n_б∆- число измерений, при которых одна случайная погрешность больше ∆

Из таблицы следует, что из 370 измерений только одно измерение имеет погрешность больше 3σ, а из 15 625 измерений — одно измерение с погрешностью, превышающей 4σ Это позволяет считать, что при практических измерениях появление погрешности, большей, чем 3σ, почти исключено; если же такая погрешность имеется, то соответствующее ей значение следует считать промахом. Погрешность, равную 3σ, принято называть наибольшей возможной погрешностью ряда измерений, предельной, погрешностью или максимальной ошибкой.