Системы координат

До сих пор мы с вами пользовались только Декартовой системой координат: на плоскости выбиралась точка отсчёта – начало координат, через неё проводились две взаимно перпендикулярные прямые, на них выбирались направления (после этого их уже называют осями) и на каждой из них эталоны длины – единичные отрезки; кроме того, одна из этих прямых объявлялась первой, другая – второй. То есть, выбирался масштаб на каждой из осей и оси упорядочивались. По принятым соглашениям, направления мы на этих прямых выбирали так: за положительное по горизонтальной оси (оси абсцисс) принималось движение слева направо, а по вертикальной (оси ординат) – снизу вверх. Кроме того, первой указывали ось абсцисс. Этим мы задавали ориентацию плоскости (положительным считалось движение против часовой стрелки вокруг начала координат: от первой оси ко второй. При изменении порядка осей положительным будет считаться поворот по часовой стрелке, что приведёт к противоположной ориентации). После всех этих приготовлений любая точка на декартовой плоскости получает вполне определённые (декартовы) координаты и, наоборот, по двум наперёд заданным её координатам можно однозначно отыскать точку на плоскости. К примеру, если вам даны координаты (9,-4) то, зная, где находится начало координат, размеры единичных «шагов» по осям абсцисс и ординат, вы сделаете 9 шагов вправо от начала координат по оси абсцисс и 4 шага вниз параллельно оси ординат. Вместо всех тех элементов, которые мы перечисляли выше, можно было бы задать (косоугольную, так как вектора не обязательно будут взаимно перпендикулярны) систему координат на плоскости просто парой векторов базиса: тут уже будет и определённое начало (их общая точка), и направления, и эталоны длины (они сами) и ориентация (порядок, в котором они перечислены). Итак, любой базис e ={ e ₁, e ₂,… ,e _n} задаёт систему координат в n-мерном векторном (линейном) пространстве. Но можно задавать и другие системы координат. Например, на евклидовой плоскости - полярную систему координат. Для этого надо:

· Выбрать некоторую точку О (полюс) на плоскости;

· Провести из неё луч ОХ (полярную ось);

· Выбрать на ней какой-либо отрезок ОА за единичный (эталон длины);

· Выбрать какой либо угол YОХ за единичный (принято брать один радиан – угол, опирающийся на дугу по длине равной радиусу).

Теперь положение любой точки М на плоскости задаётся двумя параметрами – её расстоянием r от полюса и её углом j=ÐМОХ. Эти числа (r,j) называются полярными координатами точки М. Полярный угол любой точки (кроме самого полюса, где он не определён) определён только по модулю 2p, поэтому для того, чтобы соответствие точка «её полярные координаты стало взаимно однозначным условились считать j в пределах (-p,p]. У этого соглашения есть и свои минусы, которых мы коснёмся в дальнейшем.

Упражнение 18.

Пусть мы имеем на плоскости обе системы – декартову и полярную - одновременно, причём полюс и начало координат у них совпадают, а также совпадает полярная ось и положительное направление оси абсцисс.

Выразите декартовы координаты (х,у) точки М
через её полярные координаты (r,j) и, обратно, – её
полярные координаты через её декартовы координаты.

Упражнение 19.

Определите, какую линию на плоскости определяет уравнение в полярных координатах r=2Rsinj, 0£j£p. Вообще говоря, системой координат на множестве называется любая совокупность числовых функций, заданных на этом множестве, значения которых однозначно определяют положение любой точки этого множества.

Упражнение 20.

Пусть задано комплексное число z=a+bi. Найдите комплексное число такое, что и его сумма и его произведение с z - вещественные числа.

Def. Найденное только что вами называется комплексно сопряжённым к числу z.

Ось R×1 на комплексной плоскости называется вещественной или действительной осью, ось R×i называется мнимой осью, координата х (абсцисса) в разложении комплексного числа z=х+уi называется его вещественной частью и обозначается как Re z, ордината у – его мнимой частью и обозначается как Im z. Если Rez=0, то число z называется чисто мнимым.

Представление z в форме z=х+уi называется алгебраической формой числа z. Если полярные координаты числа z равны (r,j), то r называется модулем числа z, r=½z½, а j - аргументом числа z, j=argz. Представление z в форме z=r(cosj+isinj) называется тригонометрической формой числа z.

Упражнение 21.

Докажите, что f:z® является автоморфизмом поля C, причём инволюцией, то есть, f²=id.

Упражнение 22.

а) Проверьте тождество z× =½z½².

b) Какой геометрический факт отражает неравенство ½z-1½£½argz½ если ½z½=1?

Упражнение 23.

Пусть z₁=(r₁,j₁), z₂=(r₂,j₂). Каковы будут полярные координаты их произведения?

Упражнение 24.

Представьте в тригонометрической форме: а) 1+i; b) (cosj+isinj):(cosj-isinj)

Упражнение 25*. (окружность Аполлония)

Пусть k>0, k¹1. Докажите, что уравнение ½z-a½:½z-b½=k задаёт окружность, центр которой лежит на прямой, проходящей через точки a и b.

Упражнение 26. Найдите min½3+2i-z½при ½z½£1

Упражнение 27.

Проверьте тождество ½z₁+z₂½²+½z₁-z₂½²=2(½z₁½²+½z₂½²).
Какой геометрический факт оно отражает?

Упражнение 28.

Найдите ГМТ комплексной плоскости, которые удовлетворяют уравнению
½z-1-i½= ½z+1-i½

Упражнение 29*.

Докажите, что числа, представимые в виде суммы двух квадратов образуют множество, замкнутое по умножению. Найденное вами при решении этой задачи тождество называется тождеством Фибоначчи.

Упражнение 30. Докажите формулу сложного радикала: .

Упражнение 31. Докажите, что квадратные корни из числа z=х+уi находятся среди чисел w= .

Как нужно выбирать знак внутри скобок, чтобы получить пару нужных корней?

Упражнение 32. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Упражнение 33. Решите (в комплексных числах) следующие квадратные уравнения:
а) z²+z+1=0; b) z²+4z+29=0; c) z²-(2+i)z+2i=0; d) z²-(3+2i)z+6i=0.

Упражнение 34*.

Решите (в комплексных числах) уравнения:

a) z⁴-4z³+6z²-4z-15=0; b) z³+3z²+3z+3=0; c) z⁴+(z-4)⁴=32.

Упражнение 35.

Докажите формулы Муавра: если z=r(cosj+isinj), то

a) zⁿ=rⁿ(cosnj+isinnj);

b)
где w_k – корни n-ой степени из z.

Упражнение 36.

Найдите все значения корней a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

Упражнение 37.

Докажите, что все корни w_k (см. №35 b) располагаются в вершинах правильного n-угольника.

Упражнение 38.

Докажите, что все корни уравнения zⁿ=1 образуют циклическую группу 1,a, a²,…,a^n-1. Любой образующий эту группу корень a называется первообразным корнем n-ой степени из 1.

Упражнение 39.

Вычислите: a) (1+i)ⁿ; (1+i )ⁿ; c) (1+cosj+isinj)ⁿ; d) .

Упражнение 40*.

Для каждого mÎZ найдите , где a_i (i=1,2,..,n) - все корни уравнения zⁿ=1_-

(hint: look up 37 and take into account that the only vector which does not change under rotation is zero)

Упражнение 41.

Решите уравнение х⁴+х³+х²+х+1=0.

Докажите затем, что многочлен х⁴⁴+х³³+х²²+х¹¹+1 делится на многочлен х⁴+х³+х²+х+1.

Упражнение 42.

Вычислите: a) ; b)

Упражнение 43.

Докажите, что многочлен P(х) делится на многочлен Q(х), где

a) P(х)=(cosj+xsinj)ⁿ-cosnj-xsinnj, Q(х)=x²+1;

b) P(х)= xⁿsinj -r^n-1xsinnj+rⁿsin(n-1)j, Q(х)=x²-2rxcosj+r².

Упражнение 44. Докажите тождества:

a) ;

b) ;

c) .

Упражнение 45*.

½z½=1, z¹-1. Докажите, что $!tÎR½ .

Разные задачи.

Нахождение экстремумов выражений.

Упражнение 46.

Найдите наименьшее значение выражения 4х²+у²-8х-4у-31.

(Выделите полные квадраты)

Упражнение 47*.

Найдите наибольшее значение выражения z(x,y)=sinx-2cosy+sin(x+y)

(Transform this expression, using trigonometric formulas and let t=sin(x+y/2). Extracting full square, note, that expression reaches it’s maximum when and if two of its parts reach simultaneously their maxima). Answer is 2,25.

Упражнение 48.

Найдите наибольшее значение выражения 2+sin(x+y)-y².

Часто применяется следующее очевидное неравенство (равенство достигается при и только при a=b): . Докажите его.

Упражнение 49.

Найдите наибольшее значение выражения в области положительных х и у.

Упражнение 50*.

Найдите наименьшее значение выражения 2^x+2^-x+

(Obviously, it happens when both root and previous sum reach their minimal values)

Упражнение 51.

Найдите наименьшее значение выражения (x-2y+2)²+(4y-2x+1)². (Let t=x-2y+2)

Упражнение 52*.

Определите множество значений выражения А= при всевозможных допустимых значениях a и b. (. Consider separately cases x>0 and x<0). Answer: [-1, 1].

Упражнение 53*.

Найдите наименьшее значение выражения

At the nominator there is increasing function and so is one at the denominator which is in addition positive. The minimum will be at the time (if it is possible) when expression at the nominator reaches its minimum and one at the denominator reaches its maximum). Answer: p¤2.

Упражнение 54.

Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения х²+6:у, если хÎ[-2, ], yÎ[-3,-1].

Упражнение 55.

Какие значения может принимать выражение F (x,y)=sinx-3cosy, если хÎ[ , ], yÎ[ , ]?

Упражнение 56.

Какие значения может принимать выражение F (x,y)=sinxcosy, если хÎ[ , ], yÎ[ , ]?

Упражнение 57.

Какие значения может принимать выражение F (x,y)= , если хÎ[ , yÎ ?

Упражнение 58*.

Найдите наименьшее значение выражения 4x²+y²+(xy)^-1 при условии xy>0.